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Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante^[1]. Peu de temps en effet après que Boltzmann a publié son théorème H, des critiques virulentes furent formulées, notamment par Loschmidt, puis par Zermelo, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ».

Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens et des puces^[2] ». Le mathématicien Mark Kac a écrit à son propos qu'il était :

« ... probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique... »

Le modèle des urnes

Définition du modèle stochastique

On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé consiste à répéter l'opération suivante :

Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N, prendre la boule n°i, la transférer dans l'urne où elle n'était pas.

Par convention, le premier instant est $t_{0}=0$ .

Dynamique du modèle

Dans ce modèle, on suit au cours du temps t (discret) le nombre total de boules n(t) présentes dans l'urne A. On obtient une courbe qui part initialement de n(0)=N et commence par décroître vers la valeur moyenne N/2, comme on pourrait s'y attendre pour un « bon » système thermodynamique initialement hors d'équilibre et relaxant spontanément vers l'équilibre.

Mais cette décroissance est irrégulière : il existe des fluctuations autour de la valeur moyenne N/2, qui peuvent devenir parfois très importantes (ceci est particulièrement visible lorsque N est petit).

En particulier, quel que soit le nombre de boules N fini, il existe toujours des récurrences à l'état initial, pour lesquelles toutes les boules reviennent dans l'urne A après une durée finie. Mais, comme le temps moyen entre deux récurrences consécutives croît très rapidement avec N, ces récurrences ne nous apparaissent pas lorsque N est très grand.

Version « modèle des chiens et des puces »

Dans cette version, les deux urnes sont remplacées par deux chiens, et les N boules par N puces, sautant d'un chien à l'autre.

Récurrences et théorème de Kac (1947)

Récurrences à l'état initial

Il existe des récurrences à l'état initial, caractérisées par une suite dénombrable d'instants $\{t_{n}\}_{n=1,2,\dots }$ finis pour lesquels toutes les boules reviennent dans l'urne A, c’est-à-dire que l'on a : $n(t_{n})=N$ (par convention, on pose $t_{0}=0$ ). On peut alors définir une nouvelle suite dénombrable $\tau _{n}=t_{n}-t_{n-1}$ des durées finies entre deux récurrences consécutives.

Théorème de Kac (1947)

Il est possible de calculer la durée moyenne entre deux récurrences à l'état initial consécutives :

\langle \ \tau \ \rangle \ =\ \lim _{p\to \infty }\ {\frac {1}{p}}\ \sum _{n=1}^{p}\ \tau _{n}

On a le théorème suivant [Kac - 1947] :

\langle \tau \rangle \ =\ 2^{N}

De plus, on peut montrer que la dispersion des durées autour de leur valeur moyenne, caractérisée par l'écart-type σ, est du même ordre de grandeur :

\sigma ={\sqrt {\ \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{(p-1)}}\sum _{n=1}^{p}\,\left[\,\tau _{n}\,-\,\langle \tau \rangle \,\right]^{2}\ }}\ \sim \ \langle \tau \rangle

Voir par exemple [Kac-1957].

Solution exacte

Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]
Au même titre, la mesure stationnaire du modèle, ainsi que la rapidité de convergence vers la mesure stationnaire ont été étudiées par Mark Kac^[3] : voir
- Modèle des urnes d'Ehrenfest, et
- Théorie spectrale (cas du modèle des urnes d'Ehrenfest).

Lien avec une marche aléatoire

Le modèle des urnes d'Ehrenfest est formellement similaire à une marche aléatoire non isotrope sur le réseau $\mathbb {Z}$ , dont la limite continue converge vers le mouvement brownien d'une particule élastiquement liée. En termes probabilistes on parle de convergence vers le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, processus stochastique défini par l'équation différentielle stochastique :

dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}.\,

Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]

Notes et références

↑ Pour une revue des fondements conceptuels de la mécanique statistique à cette époque, on pourra lire l'article classique (paru initialement en allemand en 1912) : Paul & Tatiana Ehrenfest ; The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Dover, Inc. (1990), (ISBN 0-486-66250-0). Niveau second cycle universitaire.
↑ D'après l'anglais « dog-flea model ».
↑ Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf.

Bibliographie

Paul Ehrenfest & Tatiana Ehrenfest ; Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-Theorem, Zeitschrift für Physik 8 (1907), 311-314.
Mark Kac ; Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf. Cet article est l'un des six contenus dans : Selected Papers on Noise & Stochastic Processes, Charles Proteus Steinmetz & Nelson Wax (eds.), Dover Publishing, Inc. (1954). Réédité dans la collection Phoenix (2003), (ASIN 0486495353).
Mark Kac ; Probability and Related Topics in Physical Science, Lectures in Applied Mathematics Series 1a, American Mathematical Society (1957), (ISBN 0-8218-0047-7).
Gérard Emch & Chuang Liu ; The logic of thermo-statistical physics, Springer-Verlag (2002), (ISBN 3-540-41379-0).
Enrico Scalas, Edgar Martin & Guido Germano ; The Ehrenfest urn revisited: Playing the game on a realistic fluid model, Physical Review E 76 (2007), 011104. ArXiv : cond-mat/0512038.
Nils Berglund, « Notre univers est-il irréversible ? » — Images des Mathématiques, CNRS, 2013.