Hexagone magique

En mathématiques, un hexagone magique d'ordre n est un arrangement de nombres formant un gabarit hexagonal centré avec n cellules sur chaque côté. La somme des nombres dans chaque rangée ou dans les trois directions font la même somme. Un hexagone magique normal contient tous les entiers allant de 1 à 3n2 − 3n + 1. Il existe seulement deux arrangements respectant ces conditions, celui d'ordre 1 et celui d'ordre 3. De plus, la solution d'ordre 3 est unique[1]. Meng en donne une preuve constructive [2].

Hexagones normaux

Un hexagone magique est dit normal quand il utilise la suite des nombres commençant par 1.

Ordre 1 Ordre 3
M = 1 M = 38

L'hexagone d'ordre 3 a été publié à plusieurs reprises comme une « nouvelle » découverte. La plus vieille référence sur le sujet remonte à Ernst von Haselberg en 1887.

Hexagones non normaux

Il existe des hexagones non normaux d'ordre supérieur à 3. La suite numérique commence avec un nombre différent de 1, qui peut être positif ou négatif. Arsen Zahray a découvert ces hexagones d'ordre 4 et 5 :

Ordre 4 (non normal) Ordre 5 (non normal)
(commence à 3 et se termine à 39) (commence à 6 et se termine à 66)
M = 111 M = 244

Un hexagone d'ordre 6 a été publié par Louis Hoelbling le  :

Ordre 6 (non normal)
(commence à 21 et se termine à 111)
M = 546

Un hexagone d'ordre 7 a été publié par Arsen Zahray le (il a fait appel au recuit simulé) :

Ordre 7 (non normal)
(commence à 2 et se termine à 128)
M = 635

Un hexagone d'ordre 8 a été publié par Louis K. Hoelbling le  :

Ordre 8 (non normal)
(commence à -84 et se termine à 84)
M = 0

Un hexagone d'ordre 9 a été publié par Klaus Meffert le  :

Ordre 9 (non normal)
(commence à -108 et se termine à 108)
M = 0

Notes et références

  1. ↑ (en) C. W. Trigg, « A Unique Magic Hexagon », Recreational Mathematics Magazine, January-February 1964. Consulté le 2009-12-16.
  2. ↑ (en) [PDF] Meng, F. « Research into the Order 3 Magic Hexagon », Shing-Tung Yau Awards, October 2008. Consulté le 2009-12-16.

Bibliographie

  • (en) J. E. Baker et D. R. King, « The use of visual schema to find properties of a hexagon », Visual Mathematics, Vol. 5, Number 3, 2004.
  • (en) J. E. Baker et A. J. Baker, « The hexagon, nature's choice », Archimedes, Vol. 4, 2004.
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