Heinz Hopf est né à Gräbschen en royaume de Prusse ; sa mère est Elizabeth (née Kirchner) et son père Wilhelm Hopf. Celui-ci est né juif et s'est converti au protestantisme un an après la naissance de Heinz, tandis que celle-là vient d'une famille protestante.
En 1920, Hopf s'installe à Berlin pour continuer ses études mathématiques. Il travaille sous la direction de Ludwig Bieberbach et soutient son doctorat en 1925. Dans sa thèse sur les relations entre la topologie et la métrique des variétés[1], il démontre que toute variété riemannienne de dimension 3 de courbure constante est globalement isométrique à un espace euclidien, sphérique ou hyperbolique. Il étudie aussi les indices des points singuliers des champs de vecteurs sur les hypersurfaces et relie leur somme à la courbure. Six mois plus tard, il donne une preuve nouvelle du fait que la somme des indices des points singuliers d'un champ de vecteurs sur une variété est indépendante du choix du champ de vecteurs et égale à la caractéristique d'Euler de la variété. Ce théorème porte aujourd'hui le nom de théorème de Poincaré-Hopf.
Hopf refuse une autre invitation de Princeton en 1940. Deux ans plus tard, il demande la nationalité suisse après la confiscation de ses biens par les nazis.
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