Evstigneïev naît dans une famille d'ouvriers. Son père, plus âgé de vingt ans que sa femme, meurt alors qu'il n'a que six ans. En 1941, Evgueni commence à travailler comme électricien. Il entame des études à l'école technique, mais doit abandonner par des raisons financières. Pendant quatre ans, il travaille à l'usine (Krasnaïa Etna(ru)) où il intègre également la troupe du théâtre amateur et découvre le jazz. Il apprend à jouer de plusieurs instruments et se produit dans l'orchestre de jazz. Après une représentation, il est abordé par Vitaly Lebski, le directeur de l'école d'art dramatique de Gorki. Impressionné par sa prestation, Lebski l'invite à se présenter au concours de l'école. Evstigneïev poursuit des études d'art dramatique dans cette école de 1946 à 1951, puis, commence son métier de comédien au théâtre dramatique Lounatcharski à Vladimir[2].
Sa carrière cinématographique commence en 1951. Le succès lui vient avec son rôle dans le film Soyez les bienvenus ou Entrée interdite aux étrangers (1964) d'Elem Klimov qui remporte le Prix du jury des films pour la jeunesse au Festival de Cannes en 1966.
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