Ensemble Gδ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble G_δ (lire « G delta ») est une intersection dénombrable d'ensembles ouverts.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient de l'allemand, le G désignant un ouvert (Gebiet) et le δ désignant une intersection (Durchschnitt)^[1]. La notation G_δ est équivalente à celle de $\Pi _{2}^{0}$ utilisée dans la hiérarchie de Borel.

Propriétés

L'intersection dénombrable d'ensembles G_δ est un ensemble G_δ et l'union finie d'ensembles G_δ est un ensemble G_δ.

Le complémentaire d'un ensemble G_δ est un ensemble F_σ^[1].

Exemples

Chaque ensemble ouvert est un ensemble G_δ.

L'ensemble $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ des irrationnels est un ensemble G_δ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, l'ensemble des irrationnels peut s'écrire comme l'intersection dénombrable des ouverts $\mathbb {R} \setminus \{r\}$ , où $r$ est un rationnel. En revanche, l'ensemble $\mathbb {Q}$ des rationnels n'est pas un ensemble G_δ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, si c'était le cas, tous les ouverts dont $\mathbb {Q}$ est l'intersection seraient denses dans $\mathbb {R}$ (car ils contiennent tous $\mathbb {Q}$ qui est dense dans $\mathbb {R}$ ). $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ est lui-même intersection dénombrable d'ouverts denses, donc l'intersection vide $(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cap \mathbb {Q}$ serait aussi intersection dénombrable d'ouverts denses. On obtiendrait une contradiction avec la propriété de Baire de $\mathbb {R}$ .
Dans un espace métrisable, chaque ensemble fermé est un ensemble G_δ^[2].

Voir aussi

Ensemble F_σ — la notion duale d'un ensemble G_δ
Hiérarchie de Borel
P-espace (en), tout espace au sens de Gillman–Henriksen ayant la propriété que tout ensemble G_δ est ouvert

Références

↑ ^{a et b} (en) Elias M. Stein et Rami Shakarchi, Real Analysis : Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2009, 424 p. (ISBN 978-1-4008-3556-0, lire en ligne), p. 23
↑ (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 2006 (ISBN 978-3-540-29587-7, lire en ligne), p. 138

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