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En mathématiques, la décomposition de Bruhat (introduite par François Bruhat pour les groupes classiques et par Claude Chevalley en général) G = BWB de certains groupes algébriques G en cellules peut être considérée comme une expression générale du principe d'élimination de Gauss-Jordan, qui permet d'écrire une matrice générique comme produit d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice triangulaire inférieure – mais avec des cas exceptionnels. Elle est liée à la décomposition en cellules de Schubert des variétés de drapeaux généralisées : voir le groupe de Weyl pour ce thème.

Plus généralement, tout groupe admettant une BN-paire a une décomposition de Bruhat.

Définitions

G est un groupe algébrique réductif connexe sur un corps algébriquement clos ;
B est un sous-groupe de Borel de G ;
W = N_G(T)/T est le groupe de Weyl de G correspondant à un tore maximal T de B.

La décomposition de Bruhat de G est la décomposition

G=BWB=\bigsqcup _{w\in W}BwB

de G comme union disjointe de doubles classes de B paramétrées par les éléments du groupe de Weyl W. (NB : bien que W ne soit pas en général un sous-groupe de G, la classe wB est toujours bien définie car le tore maximal T est contenu dans B.)

Exemples

Soit G le groupe linéaire général GL_n des matrices $n\times n$ inversibles à coefficients dans un corps algébriquement clos, qui est un groupe réductif. Alors le groupe de Weyl W est isomorphe au groupe symétrique S_n sur n lettres, avec les matrices de permutation comme représentants. Dans ce cas, on peut prendre pour B le sous-groupe des matrices inversibles triangulaires supérieures. La décomposition de Bruhat dit alors que l'on peut écrire n'importe quelle matrice inversible A comme un produit U₁PU₂ où U₁ et U₂ sont triangulaires supérieures et P est une matrice de permutation. En écrivant cela comme P = U₁⁻¹AU₂⁻¹, cela signifie que toute matrice inversible peut être transformée en une matrice de permutation via une série d'opérations sur les lignes et les colonnes, où l'on ne s'autorise à ajouter un multiple de la ligne i (resp. la colonne i) à la ligne j (resp. colonne j) si i > j (resp. i < j ). Les opérations sur les lignes correspondent à U₁^–1, les opérations de colonne correspondent à U₂^–1.

Le groupe spécial linéaire SL_n des matrices $n\times n$ (inversibles) de déterminant 1 est un groupe semi-simple et donc réductif. Dans ce cas, W est toujours isomorphe au groupe symétrique S_n. Cependant, le déterminant d'une matrice de permutation est la signature de la permutation, donc pour représenter une permutation impaire dans SL_n, on peut prendre l'un des éléments non nuls comme étant –1 au lieu de 1. Ici B est le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures de déterminant 1, donc l'interprétation de la décomposition de Bruhat dans ce cas est similaire au cas de GL_n.

Géométrie

Les cellules de la décomposition de Bruhat correspondent à la décomposition cellulaire de Schubert (en) des variétés de drapeaux généralisées. La dimension de la cellule correspondant à un élément w du groupe de Weyl est la longueur (en) de cet élément. La dualité de Poincaré contraint la topologie de la décomposition cellulaire, et donc l'algèbre du groupe de Weyl ; par exemple, la cellule de dimension maximale est unique (elle représente la classe fondamentale (en)) et correspond à l'élément le plus long d'un groupe de Coxeter (en).

Calculs

Le nombre de cellules de dimension k donnée dans la décomposition de Bruhat est le coefficient de degré k du q-polynôme^[1] du diagramme de Dynkin associé.

Doubles cellules de Bruhat

Avec deux sous-groupes de Borel opposés, on peut considérer l'intersection des cellules de Bruhat pour chacun d'eux : une telle intersection est appelée une double cellule de Bruhat :

G=\bigsqcup _{w_{1},w_{2}\in W}(Bw_{1}B\cap B_{-}w_{2}B_{-})

Articles connexes

Décompositions des groupes de Lie (en)
Factorisation de Birkhoff (en), un cas particulier de la décomposition de Bruhat pour les groupes affines
Algèbre amassée

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bruhat decomposition » (voir la liste des auteurs).

↑ John Baez, « This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 186 », sur Université de Californie à Riverside, 10 septembre 2002 (consulté le 24 mars 2023).

Bibliographie

Armand Borel, Linear Algebraic Groups, vol. 126, New York, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1991 (1^re éd. 1969) (ISBN 0-387-97370-2, DOI 10.1007/978-1-4612-0941-6, MR 1102012)
Nicolas Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie : Chapitres 4, 5 et 6, Hermann, coll. « Éléments de mathématiques », 1981 (ISBN 2-225-76076-4, MR 0240238, zbMATH 0483.22001)