Rejoignant les River Rats d'Albany en 1993 lorsque les Devils transfèrent leur club école, Schwab devient le gardien numéro un de l'équipe et secondé par Mike Dunham, ils remportent lors de la saison 1994-1995 le trophée Harry-« Hap »-Holmes remis aux gardiens de l'équipe ayant conservé la plus faible moyenne de but encaissé. Les deux cerbères se partagèrent également le trophée Jack-A.-Butterfield remis au joueur le plus utile lors des séries éliminatoires de la LAH alors que les River Rats mettent la mains sur la première Coupe Calder de leur histoire.
Faisant ses débuts dans la LNH au cours de la saison 1995-1996 alors qu'il agit comme adjoint à Martin Brodeur, il prend part à dix rencontres avec les Devils avant d'être échangé au terme de la saison au Lightning de Tampa Bay. Il décroche dès son arrivée avec le Lightning un poste régulier dans la LNH et conserve celui-ci durant les trois saisons suivantes.
Devenant agent libre à l'été 2000, il s'entend pour une saison avec les Maple Leafs de Toronto où il est appelé à seconder le vétéran Curtis Joseph. Au terme de cette saison, il retourne avec les Devils du New Jersey et remporte avec ces derniers sa première Coupe Stanley.
Subissant une blessure à l'aine après n'avoir pris part qu'à trois rencontres la saison suivante, il rate le reste de la saison et décide de mettre un terme à sa carrière à l'été 2004. À la suite de son retrait, il est approché par le Lightning en 2005 pour être entraîneur des gardiens de buts. Schwab reste en poste jusqu'en 2008 avant de rejoindre l'organisation des Sharks de San José avec qui il occupe les mêmes fonctions[1].
