Cet article sur les calculs relativistes se veut volontairement calculatoire pour montrer que l'essentiel peut se déduire par le calcul des transformations de Lorentz.

Considérant un cas particulier de changement de référentiel pour introduire les calculs relativistes, soient deux référentiels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative ${\displaystyle v}$ selon l'axe O${\displaystyle x}$.

Lorsque l'on passe du premier référentiel au second en se donnant les contraintes de la relativité restreinte (ie. invariance de c par changement de référentiel), les coordonnées sont nécessairement liées par la transformation de Lorentz^[1] :

${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)\qquad y'=y\qquad z'=z\qquad t'=\gamma (t-{\frac {vx}{c^{2}}})}$ avec ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$ et ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$

Les transformations inverses ${\displaystyle \mathbb {R} '\rightarrow \mathbb {R} }$ qui donnent les coordonnées dans R en fonction des coordonnées dans R' s'en déduisent en résolvant le système de deux équations à deux inconnues ${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)\qquad t'=\gamma (t-{\frac {vx}{c^{2}}})}$

Il suffit de changer le signe de la vitesse dans les résultats, car les vitesses relatives entre les deux référentiels sont de normes égales et de signes opposés :

${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)\qquad y'=y\qquad z'=z\qquad t'=\gamma (t-{\frac {vx}{c^{2}}})}$

${\displaystyle \qquad x=\gamma (x'+vt')\qquad y=y'\qquad z=z'\qquad t=\gamma (t'+{\frac {vx'}{c^{2}}})}$

On a donc en écriture matricielle :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix}}}$.

Et inversement : ${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &+\gamma \beta &0&0\\+\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix}}}$.

Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz.

En remplaçant ${\displaystyle x}$’ et ${\displaystyle t}$’ par leurs expressions données ci-dessus en fonction de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle t}$, on obtient ${\displaystyle x=x}$ et ${\displaystyle t=t}$, ce qui signifie que les formules ci-dessus sont inverses l'une de l'autre ; les mathématiciens expriment cela en disant que cette propriété est une des propriétés requises pour que les transformations de Lorentz forment un groupe, la principale conséquence étant que la composition de deux transformations de Lorentz est une transformation de Lorentz. On verra dans le paragraphe relatif à la composition des vitesses une utilisation du groupe de Lorentz.

Si tout se déduit des transformations de Lorentz, en Relativité restreinte, il est souvent dit qu'il vaut mieux se fier aux résultats du calcul que de faire des raisonnements qualitatifs. Les transformations ci-dessus sont en effet identiques aux transformations de Galilée pour les vitesses usuelles, mais détruisent cependant la notion du temps universel, puisque celui-ci devient dépendant du référentiel : en relativité restreinte, le temps varie tout comme la position lors d'un changement de référentiel. En fonction des transformations appliquées, on trouvera des effets de contraction des longueurs et dilatation du temps (cf. ci-dessous).

Le temps, dans sa formalisation ${\displaystyle ct}$, devient une coordonnée « comme une autre » pour exprimer les lois de la physique, et celles-ci deviennent covariantes lorsqu'on les exprime dans un espace à 4 dimensions (${\displaystyle ct}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$). En remplaçant ${\displaystyle t}$ par ${\displaystyle ct}$, on ne fait que transformer les unités de temps de façon qu'elles soient exprimées en mètres plutôt qu'en secondes, mais il s'agit bien d'une coordonnée temporelle dans le référentiel d'étude d’évènements spatio-temporels (trois coordonnées d'espace et une de temps pour définir quand et où a lieu un évènement).

On va ci-dessous développer une page de calculs permettant de déduire les conséquences contre-intuitives en relativité restreinte.

On repère un évènement par les coordonnées d'un vecteur dans un repère à 4 dimensions c temps-espace ${\displaystyle \mathbf {r} =(ct,{\vec {r}})=(ct,x,y,z)}$.

On montre facilement que ce « quadrivecteur » obéit à la relation suivante :

${\displaystyle \mathbf {r^{2}} =c^{2}t^{2}-{\vec {r}}^{2}=c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})=c^{2}t'^{2}-(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})=c^{2}t'^{2}-{\vec {r'}}^{2}=\mathbf {r'^{2}} }$.

En effet :

${\displaystyle \left(\gamma (ct'+\beta x')\right)^{2}-(\left(\gamma (x'+\beta ct')\right)^{2}+y'^{2}+z'^{2})=(\left(\gamma ^{2}(1-\beta ^{2})\right)c^{2}t'^{2}-((\left(\gamma ^{2}(1-\beta ^{2})\right)x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})=c^{2}t'^{2}-(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})}$.

Cette quantité est la pseudonorme du quadrivecteur : ${\displaystyle \mathbf {r^{2}} =c^{2}t^{2}-{\vec {r}}^{2}}$.

On a montré mathématiquement que cette quantité ne dépend pas du référentiel et constitue donc un invariant aux transformations de Lorentz, un invariant relativiste.

Premièrement, il faut constater qu'au temps ${\displaystyle t}$' correspond une infinité de temps dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$: ${\displaystyle ct={\frac {(ct'+{\frac {vx'}{c}})}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}$.

Pour simplifier, prenons ${\displaystyle t}$'=0 : ${\displaystyle ct={\frac {({\frac {vx'}{c}})}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}$.

Pour le même temps ${\displaystyle t}$'=0 correspondent des temps t qui sont pour des ${\displaystyle x}$ positifs dans le futur de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et pour des ${\displaystyle x}$ négatifs dans le passé de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Soient deux référentiels, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, et ${\displaystyle \mathbb {R'} }$ en translation rectiligne uniforme par rapport au premier référentiel suivant l'axe des ${\displaystyle x}$ positifs à la vitesse ${\displaystyle v}$.

Une horloge au repos dans ${\displaystyle \mathbb {R'} }$ au point ${\displaystyle M'(x'_{o},y'_{o},z'_{o})}$, mesure deux évènements dans ${\displaystyle \mathbb {R'} }$ : ${\displaystyle (ct'_{1},x'_{o},y'_{o},z'_{o})}$ et ${\displaystyle (ct'_{2},x'_{o},y'_{o},z'_{o})}$ qui se produisent donc au même endroit et à des temps différents.

Selon les transformations de changement de référentiel, ${\displaystyle x_{1}=\gamma (vt'_{1}+x'_{o})}$ et ${\displaystyle x_{2}=\gamma (vt'_{2}+x'_{o})}$. La durée entre deux évènements dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R'} }$ se produisant en ${\displaystyle M'(x'_{o},y'_{o},z'_{o})}$ est :${\displaystyle t'_{1}-t'_{2}}$. La durée entre ces deux évènements dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est :${\displaystyle t_{1}-t_{2}=\gamma (t'_{1}+{\frac {vx'_{o}}{c^{2}}}-t'_{2}-{\frac {vx'_{o}}{c^{2}}})=\gamma (t'_{1}-t'_{2})}$.

En posant ${\displaystyle \tau _{0}=t'_{1}-t'_{2}}$ la durée au repos, et ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$ la durée observée dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$, nous obtenons la formule dite de dilatation des durées :

${\displaystyle \tau ={\frac {\tau _{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

Ainsi, vu du référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par deux observateurs situés en ${\displaystyle x_{1}=\gamma (vt'_{1}+x'_{o})}$ et ${\displaystyle x_{2}=\gamma (vt'_{2}+x'_{o})}$, et qui ont synchronisé leurs horloges dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$, la mesure de l'intervalle de temps n'est pas égale à celle mesurée par un observateur immobile situé en ${\displaystyle M'(x'_{o},y'_{o},z'_{o})}$:

La quantité ${\displaystyle \tau _{0}}$ s'appelle temps propre . Comme ${\displaystyle \tau _{0}=\tau {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}$, on voit que la quantité ${\displaystyle \tau {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}$ est un invariant relativiste.

Le facteur ${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ qui intervient dans la dilatation des durées, a, pour un avion, une valeur approchée de 1 + v²/2c², soit 1+10^(-10) = 1,000 000 000 1. Quelques millisecondes sur un an de vol de supersonique ! La réalisation d'une mesure de la dilatation du temps, en comparant l'indication d'horloges demeurées au sol à l'indication d’horloges emportées sur un avion, a eu lieu aux États-Unis en 1972. Les chercheurs travaillant sur les particules produites dans les synchrotrons vivent quotidiennement l'effet de la dilatation du temps T= γ T'.

Et aujourd'hui, les horloges atomiques embarquées dans les satellites des systèmes GPS sont calibrées de façon que leurs indications soient compatibles avec des horloges restées sur Terre.

Nous nous plaçons dans les conditions évoquées au précédent paragraphe. Mesurer une longueur M₁M₂ revient à repérer dans un système de coordonnées les deux extrémités M₁ et M₂.

Cela ne pose pas de problème si celles-ci ne bougent pas dans le temps ; par contre si elles se déplacent à la même vitesse ${\displaystyle v}$, il faudra repérer ces deux extrémités simultanément.

Nous considérons donc une règle au repos dans ${\displaystyle \mathbb {R'} }$, de longueur ${\displaystyle L_{0}}$ au repos. Les coordonnées de ses extrémités sont ${\displaystyle x'_{1}}$ et ${\displaystyle x'_{2}}$. Les évènements de ses extrémités sont : ${\displaystyle (t'_{1},x'_{1},0,0)}$ et ${\displaystyle (t'_{2},x'_{2},0,0)}$.

Considérons maintenant les évènements ${\displaystyle (t'_{1},x'_{1},0,0)}$ et ${\displaystyle (t'_{2},x'_{2},0,0)}$, on obtient dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle {\begin{matrix}\left\{{\begin{matrix}x_{1}=\gamma (x'_{1}+vt'_{1})\\t_{1}=\gamma (t'_{1}+{\frac {v}{c^{2}}}x'_{1})\end{matrix}}\right.&\left\{{\begin{matrix}x_{2}=\gamma (x'_{2}+vt'_{2})\\t_{2}=\gamma (t'_{2}+{\frac {v}{c^{2}}}x'_{2})\end{matrix}}\right.\end{matrix}}}$.

Déterminons ${\displaystyle t'_{2}-t'_{1}}$ pour que ces évènements soient simultanés dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, il faut que :

${\displaystyle t_{2}-t_{1}=\gamma (t'_{2}-t'_{1}+{\frac {v}{c^{2}}}(x'_{2}-x'_{1}))=0}$ soit :

${\displaystyle t'_{2}-t'_{1}=-{\frac {v}{c^{2}}}(x'_{2}-x'_{1})}$

${\displaystyle x_{2}-x_{1}=\gamma (x'_{2}-x'_{1})+\gamma v(t'_{2}-t'_{1})={\frac {1}{\gamma }}(x'_{2}-x'_{1})}$.

La longueur de la règle, observée dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ s'exprime :

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Ainsi, la règle est plus courte dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ : la règle M₁M₂ en mouvement est plus courte lorsque la mesure de sa longueur est faite dans un référentiel dans lequel M₁M₂ est en mouvement.

Ainsi un coureur R' de 100 m va s'autochronométrer avec sa montre un temps propre de T'₀ = 10 s sur une piste de L₀ = 100 m dans R : pour le coureur, la piste qui défile à la vitesse ${\displaystyle v}$ sous ses enjambées ne fait pas 100 m elle est contractée L' = L₀/γ ; par contre pour le juge de piste la piste est immobile par rapport à lui ; elle fait L₀ = 100 m en longueur propre et le temps est T = γT'₀ c'est-à-dire dilaté.

Le coureur et le juge ne sont d'accord ni sur le temps ni sur la distance, mais sont d'accord sur la vitesse ${\displaystyle v}$ = L'/T'₀ = L₀/T.

Bien sûr, aux vitesses d'un coureur de 100 m, toutes ces différences sont imperceptibles.

Les effets relativistes ne sont perceptibles qu'à l'échelle nucléaire ou à l'échelle galactique.

Nous savons, dans la vie quotidienne, que les vitesses s'ajoutent. Prenons un exemple concret, je prends le métro, et je marche à 5 km/h sur un tapis roulant allant dans le même sens à 4 km/h. Ma vitesse par rapport au sol est de 9 km/h. Nous allons voir comment obtenir la formule de composition des vitesses galiléenne, puis relativiste. Nous supposerons dans ce paragraphe que tous les déplacements se font parallèlement à un même axe.

Les transformations de Galilée sont :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}x&=\ x'+vt'\\t&=\ t'\end{array}}\right.}$.

En différenciant, on obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}dx&=\ dx'+vdt'\\dt&=\ dt'\end{array}}\right.}$,

ou encore:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}dx&=\ dt'({\frac {dx'}{dt'}}+v)\\dt&=\ dt'\end{array}}\right.}$

le quotient donne : ${\displaystyle u=u'+v}$, avec ${\displaystyle u={dx \over dt}}$ et ${\displaystyle u'={dx' \over dt'}}$, ce qui est la loi de composition classique: les vitesses s'ajoutent.

Les transformations de Lorentz sont :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=\gamma (x'+vt')\\t=\gamma \left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{matrix}}\right.}$,

en différenciant, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}dx&=\gamma (dx'+vdt')=\gamma \left({\frac {dx'}{dt'}}+v\right)dt'\\dt&=\gamma \left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right)=\gamma \left(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}}\right)dt'\end{aligned}}}$,

le quotient donne :

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}}}}}$ Soit : ${\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}}}$ la loi de composition relativiste des vitesses : elles ne s'ajoutent pas.

Si u' = c, alors on obtient u = c. La vitesse de la lumière est la même dans les deux référentiels.

Soit ${\displaystyle L(v)}$ la matrice

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

avec ${\displaystyle \beta =\beta (v)={v \over c}}$ et ${\displaystyle \gamma =\gamma (v)={1 \over {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$. Cette matrice, appliquée aux composantes ${\displaystyle {\mathbf {X'} }}$ dans un référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ donne les composantes ${\displaystyle {\mathbf {X} }}$ dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par rapport auquel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ se déplace avec une vitesse ${\displaystyle v}$ :

${\displaystyle \mathbf {X} =L(v)\mathbf {X'} }$

Si on dispose d'un référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} ''}$ se déplaçant par rapport au référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ à la vitesse ${\displaystyle u'}$, alors les relations entre les composantes ${\displaystyle \mathbf {X''} }$ dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} ''}$ et les composantes ${\displaystyle \mathbf {X'} }$ dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ sont données par :

${\displaystyle \mathbf {X'} =L(u')\mathbf {X''} }$.

On a donc :

${\displaystyle \mathbf {X} =L(v)\mathbf {X'} =L(v)L(u')\mathbf {X''} }$.

La matrice produit ${\displaystyle L(v)L(u')}$ n'est autre que la matrice ${\displaystyle L(u)}$, où ${\displaystyle u}$ est la vitesse du référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} ''}$ par rapport au référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$. On vérifiera que ${\displaystyle L(v)L(u')=L\left({u'+v \over 1+u'v/c^{2}}\right)}$, et donc que ${\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}}}$, comme plus haut.

On se reportera au paragraphe ci-dessous pour le cas plus général où les vitesses ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ ne sont pas colinéaires.

On peut calculer une vitesse en formant le rapport d'une distance par un temps :

${\displaystyle {\frac {V_{x}}{c}}={\frac {x}{ct}}={\frac {{\frac {x'}{ct'}}+\beta }{1+\beta {\frac {x'}{ct'}}}}\qquad {\frac {V_{y}}{c}}={\frac {y}{ct}}={\frac {\frac {y'}{ct'}}{\gamma (1+\beta {\frac {x'}{ct'}})}}\qquad {\frac {V_{z}}{c}}={\frac {z}{ct}}={\frac {\frac {z'}{ct'}}{\gamma (1+\beta {\frac {x'}{ct'}})}}\qquad }$

${\displaystyle {\frac {V_{x}}{c}}={\frac {{\frac {V_{x}'}{c}}+\beta }{1+\beta {\frac {V_{x}'}{c}}}}\qquad {\frac {V_{y}}{c}}={\frac {\frac {V'_{y}}{c}}{\gamma (1+\beta {\frac {V_{x}'}{c}})}}\qquad {\frac {V_{z}}{c}}={\frac {\frac {V'_{z}}{c}}{\gamma (1+\beta {\frac {V_{x}'}{c}})}}\qquad }$

Ce sont les transformations sur les vitesses et l'on constate que les vitesses ne s'ajoutent pas : il ne faut pas appeler ces relations en utilisant le mot 'addition'.

Ces relations peuvent s'écrire différemment si on calcule :

${\displaystyle 1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}=1-{\frac {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2}}{c^{2}}}=1-\left({\frac {{\frac {V_{x}'}{c}}+\beta }{1+\beta {\frac {V_{x}'}{c}}}}\right)^{2}-(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})\left(\left({\frac {\frac {V_{y}'}{c}}{1+\beta {\frac {V_{x}'}{c}}}}\right)^{2}+\left({\frac {\frac {V_{z}'}{c}}{1+\beta {\frac {V_{x}'}{c}}}}\right)^{2}\right)}$

soit:${\displaystyle \left(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1+\beta {\frac {V_{x}'}{c}}\right)^{2}=\left(1-{\frac {V'^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

En posant ${\displaystyle \Gamma (V)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {x}{ct}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{ct}}\right)^{2}-\left({\frac {z}{ct}}\right)^{2}}}}=\Gamma _{V}}$ et ${\displaystyle \Gamma (V')={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {V'^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {x'}{ct'}})^{2}-\left({\frac {y'}{ct'}}\right)^{2}-\left({\frac {z'}{ct'}}\right)^{2}}}}=\Gamma _{V'}}$ et ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

l'égalité s'écrit ${\displaystyle (\Gamma _{V}c)=\gamma _{v}\left((\Gamma _{V'}c)+\beta (\Gamma _{V'}V_{x}')\right)}$, qui est une des transformations de Lorentz si on considère le quadrivecteur

${\displaystyle (\Gamma _{V}c,\Gamma _{V}{\vec {V}})={\frac {(c,{\vec {V}})}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}}$ est le quadrivecteur vitesse.

De même :

${\displaystyle \Gamma _{V}c=\gamma _{v}(\Gamma _{V'}c+\beta \Gamma _{V'}V_{x}')\qquad \Gamma _{V}V_{x}=\gamma _{v}(\Gamma _{V'}V_{x}'+\beta \Gamma _{V'}c)}$

${\displaystyle \qquad \Gamma _{V}V_{y}=\Gamma _{V'}V_{y}'\qquad \Gamma _{V}V_{z}=\Gamma _{V'}V_{z}'}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma (V)c\\\gamma (V)V_{x}\\\gamma (V)V_{y}\\\gamma (V)V_{z}\\\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma (V')c\\\gamma (V')V_{x}'\\\gamma (V')V_{y}'\\\gamma (V')V_{z}'\\\end{pmatrix}}}$

Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz sur les vitesses. où :

${\displaystyle (\gamma (V)c,\gamma (V){\vec {V}})={\frac {(c,{\vec {V}})}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}}$ est le quadrivecteur vitesse.

Ceci va avoir d'énormes conséquences en dynamique.

Considérons::${\displaystyle ds={\sqrt {c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}}}$ et ${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}$ tous deux invariants.

${\displaystyle cd\tau =ds}$.

En relativité restreinte, nous avons un invariant qui a pour dimension une longueur (que nous appelons longueur propre) : Nous définissons le temps propre de la manière suivante: Nous obtenons :

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}=\gamma (V){\frac {d}{dt}}}$.

${\displaystyle d\tau }$ est l'accroissement de temps mesuré dans un référentiel en mouvement avec une vitesse V par rapport à un référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans lequel l'accroissement de temps est dt. La quantité ${\displaystyle dt{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}$ ne dépend pas du référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ choisi. C'est un invariant relativiste.

Nous définissons alors naturellement la quadrivitesse : ${\displaystyle u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

${\displaystyle u^{\alpha }=({\gamma (V)}c,\gamma (V){\vec {V}})}$

qui a une pseudo norme égale à c².

Ou le paradoxe des jumeaux :

• Rappelons ce paradoxe :

On considère deux jumeaux A et B. A entreprend un long voyage puis revient vers B. A est alors censé avoir vieilli moins que B. Un paradoxe est soulevé si, en se plaçant du point de vue de A, il considère que c'est B qui voyage et qui devrait avoir moins vieilli que lui. Par conséquent, il n'y a aucune raison de trouver une dilatation du temps de l'un par rapport à l'autre.

• Pour lever le paradoxe, il faut repérer où se situe une dissymétrie :

B se situe dans un référentiel inertiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et n'en change pas. Dans un premier temps, A se situe dans un référentiel inertiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle v}$ par rapport à ${\displaystyle \mathbb {R} }$, puis A fait demi-tour. Il change alors de référentiel inertiel et se trouve cette fois dans un référentiel inertiel ${\displaystyle \mathbb {R} ''}$ se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle -v}$ par rapport à ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• La dissymétrie provient donc du fait que A change de référentiel inertiel, et pas B. Dans ce qui suit, on va illustrer par l'effet Doppler l'évolution des vies de A et de B. Nous verrons que lorsque A et B s'éloignent l'un de l'autre, l'effet Doppler des signaux qu'ils s'envoient l'un vers l'autre est identique (la fréquence des signaux est diminuée dans le même rapport). Lorsque A et B se rapprochent l'un de l'autre, il en est de même (la fréquence des signaux est augmentée dans le même rapport). Mais l'inversion de l'effet Doppler dépend uniquement de A, et B n'y joue aucun rôle. Ceci expliquera que, du point de vue de A ou de B, B a davantage vieilli que A.

On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {3}{5}})^{2}}}}=5/4}$

Si T₀ est la durée du voyage dans R', dans R le voyage aller a duré T₁ = γT₀ = 5/4 années, en parcourant vγT₀= 3/5×5/4 T₀ année-lumière= 3/4 T₀ a.l.

(a.l. signifie année-lumière ou distance parcourue par la lumière en un an)

Pour simplifier prenons un voyage de T₀ = 1 an et pour moderniser le voyage, O et O' sont sous vidéo avec émission en continu.

Par effet Doppler, les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne

${\displaystyle T_{r}={\frac {(1+v/c)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\times T_{0}={\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}\times T_{0}={\frac {8}{5}}\times {\frac {5}{4}}\times T_{0}=2\times T_{0}}$

Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.

• Supposons que A s'arrête au bout d'un an, sans revenir.

Point de vue de A : Il a reçu 6 mois de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année depuis son départ, ce qui est bien la durée T₁ du voyage de A dans le référentiel de B.

Point de vue de B : Après avoir reçu au ralenti le voyage aller de A en 2 ans, B reçoit la vie de A avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute du voyage de A, visionnée au ralenti par B, a été émise 3/4 d'an plus tôt : B sait donc que le voyage de A a duré (dans le référentiel de B) 2 ans moins 3/4 année, soit 5/4 d'année, ce qui est bien la durée T₁ du voyage de A dans le référentiel de B.

• Supposons maintenant que A en O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :

Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T₁ = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :

${\displaystyle T_{r}={\frac {(1-v/c)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\times T_{0}={\sqrt {\frac {1-{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {v}{c}}}}}\times T_{0}={\frac {2}{5}}\times {\frac {5}{4}}\times T_{0}=1/2\times T_{0}}$

A a donc voyagé pendant 2 ans et se retrouve avec B en O qui a vécu 6 mois + 2 ans = 2 ans et demi = 2T₁.

C'est l'effet dilatation du temps.

Noter que A a fait demi tour dans un espace contenant des ondes qui se propagent vers B en O.

Point de vue de B : En O, il reçoit pendant 2 ans le voyage aller de A en O' et lorsque A fait demi-tour, il ne le sait pas encore. Lorsqu'il reçoit l'information que A en O' a fait demi tour il y a déjà 3/4 d'an que A voyage sur le retour et A sera dans 6 mois en O : B en O reçoit ce retour d'un an de la vie de A en accéléré en ces 6 mois. B aura mis 2 ans et 6 mois pour recevoir les « 2ans » de voyage de A.

Tous les premiers de chaque mois, A et B s'envoient mutuellement le rang du mois qui commence pour eux. Dans le tableau ci-dessous, on affiche dans la colonne de gauche le rang vécu par A et qu'il envoie à B, alors que la colonne de droite affiche les messages que perçoit A de la part de B. Pendant le voyage aller, la vie de B s'affiche deux fois moins vite, alors que pendant le voyage retour, la vie de B s'affiche deux fois plus vite.

Point de vue de A
Horloge de A	Visionnage de la vie de B
A s'éloigne de B et visionne la vie de B au ralenti (deux fois moins vite)
1	1
2	1
3	2
4	2
...	...
10	5
11	6
12	6
A fait demi-tour. Il se rapproche de B et visionne la vie de B en accéléré (deux fois plus vite)
13	8
14	10
15	12
...	...
23	28
24	30

On peut procéder de même pour B. On prendra garde que A fait demi-tour au bout de 15 mois de B, mais que B ne le voit que 9 mois plus tard, le temps que le signal parvienne jusqu'à lui, donc au bout de 24 mois.

Point de vue de B
Horloge de B	Visionnage de la vie de A
A s'éloigne de B. B visionne sa vie au ralenti (deux fois moins vite)
1	1
2	1
3	2
4	2
...	...
22	11
23	12
24	12
B voit que A fait demi-tour. Il se rapproche de B et B visionne sa vie en accéléré (deux fois plus vite)
25	14
26	16
27	18
28	20
29	22
30	24

Le temps est relatif : comme une coordonnée, il dépend du référentiel. La durée du voyage de A, égale à 2T₀ est multipliée pour B par le facteur

${\displaystyle {\frac {(1-v/c)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {(1+v/c)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {v}{c}}}}}+{\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}={\frac {2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique. Il suffit de supposer qu'au lieu de s'envoyer des messages électro-magnétiques, A et B s'envoient des messages sonores à intervalle régulier. Nous supposerons que le milieu dans lequel se déplacent ces ondes sonores coïncide avec le référentiel de B. Le facteur de l'effet Doppler demeure, mais au sens classique.

• En ce qui concerne les messages émis de B vers A, A les perçoit à l'aller en ralenti avec le facteur ${\displaystyle (1-v/c)}$, et au retour en accéléré avec le facteur ${\displaystyle (1+v/c)}$, sans le facteur spécifiquement relativiste de dilatation du temps ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$. La longueur du trajet de A est 3cT₀/5, soit 3/5 a.l. (nous gardons les mêmes unités même si elles ne sont plus vraisemblables pour faciliter la comparaison).

• En ce qui concerne les messages émis de A vers B, B les perçoit à l'aller de A en ralenti avec le facteur ${\displaystyle {1 \over (1-v/c)}}$, et au retour de A en accéléré avec le facteur ${\displaystyle {1 \over (1+v/c)}}$.

Point de vue de A : Pendant le voyage aller d'un an (sic), A reçoit au ralenti la vie de B avec un facteur 1 - 3/5, soit 2/5 de la vie de B. Au retour, A reçoit en accéléré la vie de B avec un facteur 1 + 3/5, soit 8/5 de la vie de B. Au cours de ses deux ans de voyage, A a visionné 2/5 + 8/5 = 2 années de la vie de B.

Point de vue de B : B reçoit au ralenti une année de voyage de A, avec un facteur 1/(1 + 3/5)) = 5/8. À cet instant, A fait demi-tour, mais B ne le sait pas encore. Il le saura lorsque le signal émis par A lui parviendra, c’est-à-dire dans 3/5 d'année. B verra donc s'écouler 1 + 3/5 = 8/5 d'années pour visionner la totalité du voyage de A avant de le voir faire demi-tour. Ces 8/5 d'années correspondent bien à un an de la vie de A visionnée au ralenti avec un facteur 5/8. Lorsque B voit A faire demi-tour, A est déjà sur le chemin du retour depuis 3/5 d'année. Il lui reste donc 2/5 d'année à voyager. B, quant à lui, visionnera en accéléré la totalité du voyage retour avec un facteur 1/(1 - 3/5)) = 5/2. Ce visionnage du retour durera donc également 2/5 d'année, et B aura visionné 8/5 + 2/5 = 2 années de voyage de A.

L'aller et le retour de A ont duré chacun 1 an, A a vécu 2 ans. Et B a vécu 2 ans pour visionner les 2 ans du voyage de A : classique quoi ! Le temps est le même pour A et B : universel.

On peut regarder également le problème sous l'angle de la contraction des longueurs. A et B se mettent d'accord sur Terre que A s'en va vers une autre planète immobile par rapport à la Terre à une distance L = 3/4 d'année lumière et puis revienne sur Terre le tout à une vitesse v = 3/5 c. Du point de vue de B, A sera arrivé sur la planète en T = L/v = (3/4)/(3/5) = 5/4 d'année et le trajet aller-retour aura duré 2*T = 5/2 = 2,5 ans. Du point de vue de A, lorsqu'il sera à la vitesse ${\displaystyle v}$, il verra de son hublot la terre s'éloigner à la vitesse ${\displaystyle v}$ et la planète se rapprocher à la vitesse ${\displaystyle v}$, par contre à cause de la contraction des longueurs, la planète sera désormais à une distance L₀ = L / γ = (3/4)/(5/4) = 3/5 d'année lumière. Ainsi il sera arrivé sur la planète en T₀ = L₀/v = (3/5)/(3/5) = 1 année et le trajet aller-retour aura durée 2*T₀ = 2 ans.

De même que nous avons défini le quadrivecteur vitesse en différentiant le quadrivecteur position par rapport au temps propre, nous pouvons définir le quadri-vecteur accélération en différentiant le quadrivecteur vitesse par rapport au temps propre :

${\displaystyle a^{\alpha }={\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}=({\gamma }{\frac {d}{dt}}({\gamma }c),{\gamma }{\frac {d}{dt}}({\gamma }{\vec {V}}))=({\gamma }c{\frac {d\gamma }{dt}},{\gamma }{\frac {d\gamma }{dt}}{\vec {V}}+\gamma ^{2}{\frac {d{\vec {V}}}{dt}})}$

avec ${\displaystyle \gamma =\gamma (V)={1 \over {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}$

La transformation de Lorentz appliquée dans un référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ permet d'en déduire le quadrivecteur accélération dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ en translation rectiligne uniforme par rapport à ${\displaystyle \mathbb {R} }$, et de calculer explicitement les transformations des composantes de l'accélération au sens classique. Notons ${\displaystyle a_{i}={dV_{i} \over dt}}$ la ième composante de l'accélération d'un point mobile dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et notons-la ${\displaystyle a'_{i}={dV'_{i} \over dt'}}$ dans le repère ${\displaystyle \mathbb {R} '}$. On obtient, en notant ${\displaystyle v}$ la vitesse de translation selon l'axe des ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ par rapport à ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle a'_{x}=\left({1-{v^{2} \over c^{2}}}\right)^{3/2}{a_{x} \over (1-vV_{x}/c^{2})^{3}}}$

${\displaystyle a'_{y}=\left({1-{v^{2} \over c^{2}}}\right){a_{y}(1-vV_{x}/c^{2})+a_{x}vV_{y}/c^{2} \over (1-vV_{x}/c^{2})^{3}}}$

${\displaystyle a'_{z}=\left({1-{v^{2} \over c^{2}}}\right){a_{z}(1-vV_{x}/c^{2})+a_{x}vV_{z}/c^{2} \over (1-vV_{x}/c^{2})^{3}}}$

Lorsque ${\displaystyle V_{x}=v}$ et ${\displaystyle V_{y}=V_{z}=0}$ (vitesse et accélération parallèles), on a

${\displaystyle a'_{x}={a_{x} \over \left({1-{v^{2} \over c^{2}}}\right)^{3/2}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}\right)}$

Cette relation est importante car elle peut servir à obtenir la variation de la masse avec la vitesse et, donc, ${\displaystyle E=mc^{2}}$ ^[2].

Lorsque ${\displaystyle V_{x}=v}$ et ${\displaystyle a_{x}=a_{z}=0}$ (vitesse et accélération perpendiculaires), on a

${\displaystyle a'_{y}={a_{y} \over {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}$

Cette formule est utile pour un mouvement de rotation et sert pour l'obtention de la formule de Larmor relativiste.

Considérons un référentiel inertiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Supposons que M, particule de masse m₀, se déplace sous l'effet d'une force constante F parallèle à ${\displaystyle Ox}$ et que, pour ${\displaystyle t}$ = 0, M soit en O avec une vitesse nulle. Sous l'effet de la force, la particule va être soumise à une accélération. Cependant, celle-ci ne saurait être constante, égale à ${\displaystyle g={F \over m_{0}}}$, sous peine de voir la particule atteindre puis dépasser la vitesse de la lumière. Quel est alors l'équivalent relativiste du mouvement uniformément accéléré de la mécanique galiléenne ?

À un instant ${\displaystyle t}$ donné, le point M est animé d'une vitesse V par rapport à ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Considérons alors un référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ se déplaçant à la vitesse constante ${\displaystyle v}$ qui coïncide à l'instant ${\displaystyle t}$ avec la vitesse V de M, et tel que son origine O' coïncide également avec M à l'instant ${\displaystyle t}$. Dans ce référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$, au cours du temps, le point M se voit se rapprocher de O', atteindre ce point en un certain instant ${\displaystyle t'}$, sa vitesse V' s'annule en cet instant, puis il repart et s'éloigne de O'. Il est alors soumis à une accélération ${\displaystyle a'_{x}}$ dans le repère ${\displaystyle \mathbb {R} '}$. Puisque la vitesse V' s'annule au moment où M atteint O', nous ferons l'hypothèse que les lois de la mécanique galiléenne s'appliquent à cet instant, et que l'accélération ${\displaystyle a'_{x}}$ est égale à g. Selon les règles de transformation des accélérations vues précédemment, et compte tenu du fait que ${\displaystyle v=V=V_{x}}$, l'accélération de la particule M dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ à l'instant ${\displaystyle t}$ est ${\displaystyle a_{x}=\left({1-{V^{2} \over c^{2}}}\right)^{3/2}g}$.

Si, à chaque instant ${\displaystyle t}$, on redéfinit le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ coïncidant avec M, alors on définit ainsi une accélération propre constante ${\displaystyle a'_{x}=g}$ et une accélération dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ égale à :

${\displaystyle a_{x}=\left({1-{V^{2} \over c^{2}}}\right)^{3/2}g={dV \over dt}}$.

Au fur et à mesure que V augmente et se rapproche de ${\displaystyle c}$, l'accélération de la particule dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ diminue, bien que son accélération dans son référentiel propre reste constante. L'intégration de l'équation donne l'expression de V en fonction du temps, à savoir :

${\displaystyle V={\frac {gt}{\sqrt {1+{\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}={dx \over dt}}$

On constate que V tend vers ${\displaystyle c}$ lorsque ${\displaystyle t}$ tend vers l'infini. Par ailleurs, pour ${\displaystyle t}$ proche de 0, on retrouve l'expression V = gt de la mécanique galiléenne. Une deuxième intégration fournit l'expression de l'abscisse ${\displaystyle x}$ du point mobile M :

${\displaystyle x={c^{2} \over g}({\sqrt {1+{g^{2}t^{2} \over c^{2}}}}-1)}$.

Pour ${\displaystyle t}$ proche de 0, on retrouve l'expression ${\displaystyle x={1 \over 2}gt^{2}}$ de la mécanique galiléenne.

Si, dans l'étude du paragraphe précédent, on souhaite que la loi ${\displaystyle F=m_{0}g={d(mV) \over dt}}$ reste valide, il faut, puisque dV/dt n'est pas constant, que m ne le soit pas non plus. F étant constante, on a nécessairement mV = Ft avec, comme on l'a vu :

${\displaystyle V={\frac {gt}{\sqrt {1+{\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}}$

ce qui donne :

${\displaystyle t={\frac {1}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{V \over g}}$

On obtient alors :

${\displaystyle m={Ft \over V}={\frac {F}{g{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}$

Ainsi, lorsque V augmente, on est amené à attribuer une masse m en mouvement de plus en plus importante, afin que la loi fondamentale de la dynamique reste valide.

Toujours dans le cadre de l'étude précédente, la particule M voit son énergie varier avec la puissance suivante :

${\displaystyle P=F.V=m_{0}gV={dE \over dt}={dE \over dm}{dm \over dV}{dV \over dt}}$

or :

${\displaystyle {dV \over dt}=(1-{V^{2} \over c^{2}})^{3/2}g}$ et ${\displaystyle {dm \over dV}={V \over c^{2}}{\frac {m_{0}}{(1-V^{2}/c^{2})^{3/2}}}}$

d'où, après simplification :

${\displaystyle {dE \over dm}=c^{2}}$

ce qui conduit à la formule la plus célèbre de la physique :

${\displaystyle {E=mc^{2} \over ~}}$

On remarque que la variation d'énergie depuis l'instant initial est :

${\displaystyle E-E_{0}=(m-m_{0})c^{2}=m_{0}c^{2}({1 \over {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}-1)}$

qui donne ${\displaystyle {1 \over 2}m_{0}V^{2}}$ pour les petites vitesses. On retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique.

Soit une particule de masse m₀, se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle {\vec {V}}}$ par rapport à un référentiel inertiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$. On peut, comme en mécanique classique, définir la force à laquelle est soumise cette particule si sa quantité de mouvement varie, par :

${\displaystyle {\vec {F}}={d{\vec {p}} \over dt}}$

avec ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {V}}=\gamma (V)m_{0}{\vec {V}}}$, et sa variation d'énergie par :

${\displaystyle {\vec {F}}.{\vec {V}}={dE \over dt}}$

Mais pour passer d'un référentiel à l'autre, il vaut mieux utiliser le quadrivecteur force défini comme la dérivée du quadrivecteur impulsion par rapport au temps propre :

${\displaystyle F^{\alpha }={dp^{\alpha } \over d\tau }=\gamma (V){dp^{\alpha } \over dt}=\gamma (V){d \over dt}({E \over c},{\vec {p}})=\gamma (V)({{\vec {F}}.{\vec {V}} \over c},{\vec {F}})=\mathbf {F} }$

L'application d'une transformation de Lorentz à ce quadrivecteur permet de savoir comment une force se transforme d'un référentiel à l'autre.

Si ${\displaystyle (F_{x},F_{y},F_{z})}$ sont les composantes de ${\displaystyle {\vec {F}}}$ dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et si ${\displaystyle (F'_{x},F'_{y},F'_{z})}$ sont ses composantes dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ en translation de vitesse ${\displaystyle v}$ par rapport à ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors on trouve que :

${\displaystyle F'_{x}={1 \over 1-{\beta V_{x} \over c}}(F_{x}-\beta {{\vec {F}}.{\vec {V}} \over c})}$

${\displaystyle F'_{y}={1 \over \gamma (1-{\beta V_{x} \over c})}F_{y}}$

${\displaystyle F'_{z}={1 \over \gamma (1-{\beta V_{x} \over c})}F_{z}}$

avec ${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}$ et ${\displaystyle \beta ={v \over c}}$.

En particulier, si la vitesse V du point mobile coïncide à un instant donné avec la vitesse ${\displaystyle v}$ du référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors ${\displaystyle F'_{x}=F_{x}}$, par contre les deux autres composantes sont différentes.

Considérons une particule de masse m₀ située en ${\displaystyle t}$ = 0 en O et se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle v}$ selon l'axe ${\displaystyle Ox}$. On lui applique une force constante F = m₀g selon l'axe ${\displaystyle Oy}$. En mécanique galiléenne, sa trajectoire est une parabole. Qu'en est-il en mécanique relativiste ?

En écrivant que ${\displaystyle {\vec {F}}={d{\vec {p}} \over dt}}$ et en projetant cette relation sur deux axes, on obtient, en notant V_x et V_y les composantes de sa vitesse V à l'instant ${\displaystyle t}$ :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{d \over dt}(\gamma (V)V_{x})=0\\{d \over dt}(\gamma (V)V_{y})=g\end{matrix}}\right.}$

d'où :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\gamma (V)V_{x}=v\\\gamma (V)V_{y}=gt\end{matrix}}\right.}$

La résolution de ce système conduit à :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}V_{x}={v \over {\sqrt {1+{v^{2}+g^{2}t^{2} \over c^{2}}}}}={dx \over dt}\\V_{y}={gt \over {\sqrt {1+{v^{2}+g^{2}t^{2} \over c^{2}}}}}={dy \over dt}\end{matrix}}\right.}$

et l'intégration de ces deux relations donne les coordonnées ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ de la particule à l'instant ${\displaystyle t}$ :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={vc \over g}\operatorname {arsinh} \left({gt \over {\sqrt {c^{2}+v^{2}}}}\right)\\y={c \over g}{\sqrt {c^{2}+v^{2}}}\left({\sqrt {1+{g^{2}t^{2} \over c^{2}+v^{2}}}}-1\right)\end{matrix}}\right.}$

où arsinh est la réciproque du sinus hyperbolique. Si on exprime ${\displaystyle y}$ en fonction de ${\displaystyle x}$, on obtient :

${\displaystyle y={c \over g}{\sqrt {c^{2}+v^{2}}}\left(\cosh \left({gx \over vc}\right)-1\right)}$

qui est l'équation d'une chaînette et non plus d'une parabole.

On peut retrouver les solutions de la mécanique galiléenne en augmentant indéfiniment la valeur de ${\displaystyle c}$, ce qui donne :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=vt\\y={1 \over 2}gt^{2}\\y={gx^{2} \over 2v^{2}}\end{matrix}}\right.}$.

On considère dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ un champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}}$, et une particule de charge ${\displaystyle q}$, se déplaçant dans ce champ. Celle-ci est soumise à une force ${\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {E}}}$. Qu'en est-il dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$, en déplacement à la vitesse ${\displaystyle v}$ parallèle à ${\displaystyle Ox}$ par rapport à ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ?

À partir des relations :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F_{x}=qE_{x}\\F_{y}=qE_{y}\\F_{z}=qE_{z}\end{matrix}}\right.{\rm {,~}}\left\{{\begin{matrix}F'_{x}={1 \over 1-{\beta V_{x} \over c}}(F_{x}-\beta {{\vec {F}}.{\vec {V}} \over c})\\F'_{y}={1 \over \gamma (1-{\beta V_{x} \over c})}F_{y}\\F'_{z}={1 \over \gamma (1-{\beta V_{x} \over c})}F_{z}\end{matrix}}\right.{\rm {~et~}}\left\{{\begin{matrix}V_{x}={V'_{x}+v \over 1+\beta V'_{x}/c}\\V_{y}={V'_{y} \over \gamma (1+\beta V'_{x}/c)}\\V_{z}={V'_{z} \over \gamma (1+\beta V'_{x}/c)}\end{matrix}}\right.}$

avec ${\displaystyle \beta ={v \over c}}$ et ${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$, on en déduit que :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F'_{x}=qE_{x}-\gamma \beta q{E_{y}V'_{y}+E_{z}V'_{z} \over c}\\F'_{y}=\gamma qE_{y}+\gamma \beta q{E_{y}V'_{x} \over c}\\F'_{z}=\gamma qE_{z}+\gamma \beta q{E_{z}V'_{x} \over c}\end{matrix}}\right.}$

La force ${\displaystyle {\vec {F}}'}$ est de la forme :

${\displaystyle {\vec {F}}'=q{\vec {E}}'+q{\vec {V}}'\times {\vec {B}}'}$

avec ${\displaystyle {\vec {E}}'}$ champ électrique de composantes ${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}\\\gamma E_{y}\\\gamma E_{z}\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}'}$ champ magnétique de composantes ${\displaystyle {\gamma \beta \over c}{\begin{pmatrix}0\\E_{z}\\-E_{y}\end{pmatrix}}}$

Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ électrique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ magnétique. Ce champ n'est que l'effet relativiste du changement de référentiel.

${\displaystyle {\vec {B}}'=-{\gamma \over c^{2}}{\vec {v}}\times {\vec {E}}}$

On considère maintenant la même particule, mais dans un champ magnétique ${\displaystyle {\vec {B}}}$. La force à laquelle la particule est soumise est cette fois :

${\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {V}}\times {\vec {B}}}$

Les composantes de cette force sont :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F_{x}=q(V_{y}B_{z}-V_{z}B_{y})\\F_{y}=q(V_{z}B_{x}-V_{x}B_{z})\\F_{z}=q(V_{x}B_{y}-V_{y}B_{x})\end{matrix}}\right.}$

En opérant comme dans le paragraphe précédent, on trouve les composantes de la force dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F'_{x}=q\gamma (V'_{y}B_{z}-V'_{z}B_{y})\\F'_{y}=q(V'_{z}B_{x}-\gamma V'_{x}B_{z}-\gamma vB_{z})\\F'_{z}=q(\gamma V'_{x}B_{y}-V'_{y}B_{x}+\gamma vB_{y})\end{matrix}}\right.}$

La force ${\displaystyle {\vec {F}}'}$ est de la forme :

${\displaystyle {\vec {F}}'=q{\vec {E}}'+q{\vec {V}}'\times {\vec {B}}'}$

avec ici ${\displaystyle {\vec {E}}'}$ champ électrique de composantes ${\displaystyle \gamma v{\begin{pmatrix}0\\-B_{z}\\B_{y}\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}'}$ champ magnétique de composantes ${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{x}\\\gamma B_{y}\\\gamma B_{z}\end{pmatrix}}}$.

Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ magnétique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ électrique. Ce champ est aussi un effet relativiste du changement de référentiel.

${\displaystyle {\vec {E}}'=\gamma {\vec {v}}\times {\vec {B}}}$

Si on combine les exemples 2 et 3, on obtient les transformations d'un champ électro-magnétique ${\displaystyle ({\vec {E}},{\vec {B}})}$ :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}E'_{x}=E_{x}\\E'_{y}=\gamma (E_{y}-vB_{z})\\E'_{z}=\gamma (E_{z}+vB_{y})\\B'_{x}=B_{x}\\B'_{y}=\gamma (B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z})\\B'_{z}=\gamma (B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y})\end{matrix}}\right.}$

ou encore, en désignant par ${\displaystyle {\vec {E}}_{//}}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}_{//}}$ les composantes des champs parallèles au sens du déplacement du référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$, et par ${\displaystyle E_{\bot }}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}_{\bot }}$ les composantes orthogonales :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\vec {E}}'_{//}={\vec {E}}_{//}\\{\vec {B}}'_{//}={\vec {B}}_{//}\\E'_{\bot }=\gamma (E_{\bot }+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\\B'_{\bot }=\gamma (B_{\bot }-{{\vec {v}} \over c^{2}}\times E)\end{matrix}}\right.}$

Tout ceci fait intervenir deux champs ${\displaystyle {\vec {E}},{\vec {B}}}$ classiques qui lors d'un changement de référentiel se 'transforment' l'un dans l'autre sans pour cela se mettre clairement sous la forme de quadrivecteur comme l'énergie impulsion etc. Par contre les équations de Maxwell prennent une forme relativiste et ${\displaystyle \left({\frac {V}{c}},{\vec {A}}\right)}$ va se transformer comme doit le faire un quadrivecteur ce qui fait dire à Feynman que si dans les champs électromagnétiques il fallait mettre une hiérarchie c'est de considérer d'abord les grandeurs quadrivecteurs. Il faut donc essayer de formuler les équations de Maxwell avec des opérateurs et des champs vectoriels ou tensoriel à 4 dimensions.

On utilise en optique relativiste les quadrivecteurs de la forme ${\displaystyle ({\omega \over c},{\vec {k}})}$, où ω est la pulsation de l'onde, et ${\displaystyle {\vec {k}}}$ le vecteur d'onde indiquant la direction de propagation de l'onde et de module ω/c. Ce quadrivecteur est l'équivalent pour une onde électromagnétique du quadrivecteur ${\displaystyle ({E \over c},{\vec {p}})}$ énergie-impulsion pour une particule, multiplié par la constante de Planck ${\displaystyle {h \over 2\pi }=\hbar }$. En effet, la dualité onde-particule attribue à une onde une énergie ${\displaystyle E=h\nu ={h \over 2\pi }\omega =\hbar \omega }$, et une quantité de mouvement dont le module est ${\displaystyle p={E \over c}=\hbar {\omega \over c}=\hbar k}$.

La transformation d'un référentiel à l'autre de ce quadrivecteur explique les deux effets suivants :

• L'effet Doppler-Fizeau
• L'aberration de la lumière

Pour exprimer le quadrivecteur énergie impulsion d'une particule de masse m₀ se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle {\vec {V}}}$, il suffit de considérer une masse m₀ et de former comme en mécanique classique l'impulsion qui est le produit de la masse par la vitesse.

En mécanique relativiste, nous formons le produit de la masse par la quadri-vitesse, obtenant ainsi le quadrivecteur énergie-impulsion :

${\displaystyle p^{\alpha }=m_{0}u^{\alpha }=(\gamma (V)m_{0}c,\gamma (V)m_{0}{\vec {V}})=\left({\frac {m_{0}c}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {m_{0}{\vec {V}}}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)}$

Si on calcule la pseudo norme, on obtient :

${\displaystyle \mathbf {P^{2}} =({\frac {E}{c}})^{2}-({\vec {p}})^{2}=m_{0}^{2}c^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{pmatrix}\\{\frac {E}{c}}\\\ p_{x}\\\ p_{y}\\\ p_{z}\\\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\\{\frac {E'}{c}}\\\ p'_{x}\\\ p'_{y}\\\ p'_{z}\\\end{pmatrix}}=\mathbf {[{\mathcal {L}}]} *\mathbf {P'} }$

La pseudonorme étant un invariant, on va pouvoir l'égaler à elle-même en la calculant dans différents référentiels avant et après un choc évènement par exemple.

Dans la définition du quadrivecteur, on a posé :${\displaystyle \gamma (V)m_{0}c={E \over c}}$ où E est l'énergie associée à la particule en mouvement. ${\displaystyle E=\gamma (V)m_{0}c^{2}}$

${\displaystyle \gamma (V)m_{0}={m_{0} \over {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}$, quantité qui tend vers l'infini quand V tend vers c a souvent été utilisée au XX^e siècle en termes de masse variable.

On préfère aujourd'hui réserver le mot masse pour désigner l'énergie propre d'une particule ; c’est-à-dire son énergie au repos.

La principale confirmation de la relativité est aujourd'hui facilement illustrée par ce qu'on appelle la physique des particules ou encore des hautes énergies. Les accélérateurs de particules frappent par la dimension des installations ; ce sont des tubes (dans lequel on fait le vide) de plusieurs kilomètres en forme d'anneau creux ou tore dans lequel sont injectés des 'paquets' de protons qui circulent à grandes vitesses après avoir été accélérés par des champs électriques et déviés par des champs magnétiques qui leur imposent de rester à tourner dans le tube. Ainsi il est possible de faire des chocs de protons contre des protons à hautes énergies.

On considère en général deux référentiels : le référentiel où la cible 2 est au repos dit du laboratoire SL

${\displaystyle \mathbb {R} _{SL}:\qquad {\vec {p}}_{2}={\vec {0}}:}$

et le référentiel où le tout est immobile dit, à tort, du centre de masse SCM

${\displaystyle \mathbb {R^{*}} :\qquad \sum _{i=1}^{n}{\vec {p}}_{i}^{*}={\vec {0}}}$

si on a une particule de masse m₁ qui vient percuter une particule de masse m₂, on écrira en relativité restreinte la conservation du quadrivecteur impulsion :

${\displaystyle \mathbf {P_{t}} =({\frac {E_{t}}{c}},{\vec {p}}_{t})=\mathbf {P_{1}} +\mathbf {P_{2}} =({\frac {E_{1}}{c}},{\vec {p}}_{1})+({\frac {E_{2}}{c}},{\vec {p}}_{2}){\rm {~avec~}}\mathbf {P_{i}^{2}} =({\frac {E_{i}}{c}})^{2}-({\vec {p}}_{i})^{2}=m_{i}^{2}c^{2}}$

On suppose que les deux particules se sont provisoirement unies et forment le tout avec :

${\displaystyle \mathbf {P_{t}^{2}} =m_{t}^{2}c^{2}=\mathbf {(P_{1}+P_{2})^{2}} =\mathbf {P_{1}^{2}} +\mathbf {P_{2}^{2}} +2\cdot \mathbf {P_{1}} \cdot \mathbf {P_{2}} }$

ce qui donne aussitôt dans le référentiel où 2 est immobile :

${\displaystyle m_{t}^{2}c^{2}=m_{1}^{2}c^{2}+m_{2}^{2}c^{2}+2(m_{1}c^{2}+E_{c1})m_{2}=(m_{1}+m_{2})^{2}c^{2}+2E_{c1}m_{2}}$

où ${\displaystyle E_{c1}=E_{1}-m_{1}c^{2}}$ est l'énergie cinétique de la particule 1, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.

en résolvant :

${\displaystyle E_{c1}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {m_{t}^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2}}{m_{2}}}\right)c^{2}}$ et ${\displaystyle E_{1}=E_{c1}+m_{1}c^{2}=\left({\frac {m_{t}^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2m_{2}}}\right)c^{2}}$

Remarquer que:${\displaystyle m_{2}c^{2}+E_{1}=m_{2}c^{2}+\left({\frac {m_{t}^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2m_{2}}}\right)c^{2}=\left({\frac {m_{t}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}{2m_{2}}}\right)c^{2}=\gamma \cdot m_{t}c^{2}}$

On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)

${\displaystyle \gamma =\left({\frac {m_{t}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}{2m_{t}m_{2}}}\right)}$ et le :${\displaystyle \beta =\left({\frac {(m_{t}-m_{2})^{2}-m_{1}^{2}}{m_{t}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}}\right)}$

La pseudonorme du tout donne la masse totale exprimée dans SL en fonction de m₁,m₂ et Ec₁.

On constate que la masse du tout m_t n'est pas la somme des masses m₁ et m₂, alors que ce serait le cas classiquement.

La conservation classique de la masse est mise à mal par la relativité restreinte et c'est là l'origine de l'énergie nucléaire : l'énergie du soleil provient de la libération de l'énergie contenue dans la masse qui disparaît dans les réactions de fusion.

En sens inverse on peut créer de la masse et donc de nouvelles particules dans les anneaux de collision par la conversion d'énergie en masse.

Dans l'exemple précédent, m_t était supérieure à la somme des masses m₁ et m₂. À l'inverse, lors d'une désintégration radioactive, la masse des particules formées est inférieure à la masse initiale. La réaction a produit de l'énergie : elle est exoénergétique.

Ce qui donne aussitôt dans le référentiel dit du centre de masse celui où la particule m_t est immobile :

${\displaystyle \mathbf {P_{1}^{2}} =m_{1}^{2}c^{2}=\mathbf {(P_{t}-P_{2})^{2}} =\mathbf {P_{t}^{2}} +\mathbf {P_{2}^{2}} -2\cdot \mathbf {P_{t}} \cdot \mathbf {P_{2}} }$

${\displaystyle m_{1}^{2}c^{2}=m_{t}^{2}c^{2}+m_{2}^{2}c^{2}-2m_{t}(E_{c2}+m_{2}c^{2})}$

où ${\displaystyle E_{c2}=E_{2}-m_{2}c^{2}}$ est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.

en ordonnant et en résolvant :

${\displaystyle E_{c2}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {(m_{t}-m_{2})^{2}-m_{1}^{2}}{m_{t}}}\right)c^{2}}$ et ${\displaystyle E_{2}=E_{c2}+m_{2}c^{2}=\left({\frac {m_{t}^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2m_{t}}}\right)c^{2}=\gamma \cdot m_{2}c^{2}}$

On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)

${\displaystyle \gamma =\left({\frac {m_{t}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}{2m_{t}m_{2}}}\right)}$ et le :${\displaystyle \beta =\left({\frac {(m_{t}-m_{2})^{2}-m_{1}^{2}}{m_{t}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}}\right)}$

et en permuttant 1 et 2

${\displaystyle \mathbf {P_{2}^{2}} =m_{2}^{2}c^{2}=\mathbf {(P_{t}-P_{1})^{2}} =\mathbf {P_{t}^{2}} +\mathbf {P_{1}^{2}} -2\cdot \mathbf {P_{t}} \cdot \mathbf {P_{1}} }$

${\displaystyle m_{2}^{2}c^{2}=m_{t}^{2}c^{2}+m_{1}^{2}c^{2}-2m_{t}c(E_{c1}+m_{1}c)}$

où ${\displaystyle E_{c1}=E_{1}-m_{1}c^{2}}$ est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.

${\displaystyle E_{c1}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {(m_{t}-m_{1})^{2}-m_{2}^{2}}{m_{t}}}\right)c^{2}}$ et ${\displaystyle E_{1}=E_{c1}+m_{1}c^{2}=\left({\frac {m_{t}^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2m_{t}}}\right)c^{2}}$

Remarquer que:${\displaystyle E_{2}+E_{1}=\left({\frac {m_{t}^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2m_{t}}}\right)c^{2}+\left({\frac {m_{t}^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2m_{t}}}\right)c^{2}=m_{t}c^{2}}$

L'équation de conservation de la charge électrique s'écrit :

${\displaystyle {\frac {{\partial }\rho }{{\partial }t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0}$ La force de Lorentz s'écrit :${\displaystyle {\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})}$.

Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme vectorielle

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\nabla {\cdot }{\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}&(1)\\\nabla {\times }{\vec {E}}=-{\frac {{\partial }{\vec {B}}}{{\partial }{t}}}&(2)\\\nabla {\cdot }{\vec {B}}=0&(3)\\\nabla {\times }{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {{\partial }{\vec {E}}}{{\partial }t}}&(4)\end{matrix}}\right.}$

Écrites dans le formalisme de Lorentz avec des quadrivecteurs, elles se simplifient.

On pose comme quadri-vecteur courant ${\displaystyle j^{\alpha }=({\rho }c,{\vec {j}})}$. En effet, soit ρ₀ la densité de charge dans le référentiel propre, se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle {\vec {V}}}$ par rapport à un référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Du fait de la contraction des longueurs dans la direction de ${\displaystyle {\vec {V}}}$, le volume occupé par une charge donnée sera multiplié par le facteur ${\displaystyle {1 \over \gamma (V)}}$ lorsqu'il est observé depuis le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$, et donc la densité de charge dans ce même référentiel sera γ(V)ρ₀. Par ailleurs, la densité de courant est ${\displaystyle {\vec {J}}=\rho {\vec {V}}}$, de sorte que :

${\displaystyle j^{\alpha }=({\rho }c,{\vec {j}})=\rho (c,{\vec {V}})=\rho _{0}\gamma (V)(c,{\vec {V}})}$ produit de ρ₀ par le quadrivecteur vitesse.

On peut alors appliquer les transformations de Lorentz pour déterminer comment sont transformées densité de charge et densité de courant d'un référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ à un référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} '}$.

Nous avons donc comme formule de transformation des courants et des densités de courant (pour un référentiel en translation uniforme) :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}c\rho '=\gamma (c\rho -({\frac {v}{c}})j_{x})\\j'_{x}=\gamma (j_{x}-({\frac {v}{c}})c\rho )\\j'_{y}=j_{y}\\j'_{z}=j_{z}\end{matrix}}\right.}$

De la même façon, on a comme transformation pour les potentiels :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\varphi '}{c}}=\gamma ({\frac {\varphi }{c}}-({\frac {v}{c}})A_{x})\\A'_{x}=\gamma (A_{x}-({\frac {v}{c}}){\frac {\varphi }{c}})\\A'_{y}=A_{y}\\A'_{z}=A_{z}\end{matrix}}\right.}$

On définit le quadrivecteur potentiel électromagnétique :

${\displaystyle A^{\alpha }=({\frac {\varphi }{c}},{\vec {A}})}$

Nous définissons le champ électromagnétique de la façon suivante :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\vec {E}}=-{\nabla }\varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{{\partial }t}}\\{\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}\end{matrix}}\right.}$

Les transformations des composantes du champ électromagnétique s'écrivent :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}E'_{x}=E_{x}\\E'_{y}=\gamma (E_{y}-vB_{z})\\E'_{z}=\gamma (E_{z}+vB_{y})\\B'_{x}=B_{x}\\B'_{y}=\gamma (B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z})\\B'_{z}=\gamma (B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y})\end{matrix}}\right.}$

On peut alors définir :

${\displaystyle F^{\alpha \beta }=\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha }}$

Le Tenseur électromagnétique F est anti-symétrique, nous pouvons calculer ses composantes :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F^{01}={\partial }^{0}A^{1}-{\partial }^{1}A^{0}={\frac {1}{c}}{\frac {{\partial }A_{x}}{{\partial }t}}+{\frac {{\partial }{\frac {\varphi }{c}}}{{\partial }x}}=-{\frac {E_{x}}{c}}\\F^{02}={\partial }^{0}A^{2}-{\partial }^{2}A^{0}={\frac {1}{c}}{\frac {{\partial }A_{y}}{{\partial }t}}+{\frac {{\partial }{\frac {\varphi }{c}}}{{\partial }y}}=-{\frac {E_{y}}{c}}\\F^{03}={\partial }^{0}A^{3}-{\partial }^{3}A^{0}={\frac {1}{c}}{\frac {{\partial }A_{z}}{{\partial }t}}+{\frac {{\partial }{\frac {\varphi }{c}}}{{\partial }z}}=-{\frac {E_{z}}{c}}\\F^{12}={\partial }^{1}A^{2}-{\partial }^{2}A^{1}=-{\frac {{\partial }A_{y}}{{\partial }x}}+{\frac {{\partial }A_{x}}{{\partial }y}}=-B_{z}\\F^{13}={\partial }^{1}A^{3}-{\partial }^{3}A^{1}=-{\frac {{\partial }A_{z}}{{\partial }x}}+{\frac {{\partial }A_{x}}{{\partial }z}}=B_{y}\\F^{23}={\partial }^{2}A^{3}-{\partial }^{3}A^{2}=-{\frac {{\partial }A_{z}}{{\partial }y}}+{\frac {{\partial }A_{y}}{{\partial }z}}=-B_{x}\\\end{matrix}}\right.}$

Le tenseur électromagnétique s'écrit sous forme matricielle :

${\displaystyle F^{\alpha \beta }=\left[{\begin{matrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right]}$

Les équations contenant les sources (1) et (4) s'écrivent dans la formulation covariante :

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}j^{\beta }}$

En effet, on a :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\partial _{1}F^{10}+\partial _{2}F^{20}+\partial _{3}F^{30}=\mu _{0}j^{0}\\\partial _{0}F^{01}+\partial _{2}F^{21}+\partial _{3}F^{31}=\mu _{0}j^{1}\\\partial _{0}F^{02}+\partial _{1}F^{12}+\partial _{3}F^{32}=\mu _{0}j^{2}\\\partial _{0}F^{03}+\partial _{1}F^{13}+\partial _{2}F^{23}=\mu _{0}j^{3}\end{matrix}}\right.\left\{{\begin{matrix}{\frac {{\partial }{\frac {E_{x}}{c}}}{{\partial }x}}+{\frac {{\partial }{\frac {E_{y}}{c}}}{{\partial }y}}+{\frac {{\partial }{\frac {E_{z}}{c}}}{{\partial }z}}=\mu _{0}{\rho }c={\frac {1}{c}}\nabla \cdot {\vec {E}}\\-{\frac {1}{c}}{\frac {{\partial }{\frac {E_{x}}{c}}}{{\partial }t}}+{\frac {{\partial }B_{z}}{{\partial }y}}-{\frac {{\partial }B_{y}}{{\partial }z}}=\mu _{0}j_{x}=(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {{\partial }{\vec {E}}}{{\partial }t}}+\nabla \times {\vec {B}})_{x}\\-{\frac {1}{c}}{\frac {{\partial }{\frac {E_{y}}{c}}}{{\partial }t}}-{\frac {{\partial }B_{z}}{{\partial }x}}+{\frac {{\partial }B_{x}}{{\partial }z}}=\mu _{0}j_{y}=(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {{\partial }{\vec {E}}}{{\partial }t}}+\nabla \times {\vec {B}})_{y}\\-{\frac {1}{c}}{\frac {{\partial }{\frac {E_{z}}{c}}}{{\partial }t}}+{\frac {{\partial }B_{y}}{{\partial }x}}-{\frac {{\partial }B_{x}}{{\partial }y}}=\mu _{0}j_{z}=(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {{\partial }{\vec {E}}}{{\partial }t}}+\nabla \times {\vec {B}})_{z}\end{matrix}}\right.}$

Les équations (2) et (3) s'écrivent :

${\displaystyle \partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0}$

La vérification est aisée.

L'équation s'écrit aussi avec le tenseur de Lévi-Civita : ${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\partial _{\beta }F_{\gamma \delta }=0}$.

les intervalles d'espace

etc.

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