PROFILPELAJAR.COM

$\chi ^{2}$ -jakauma
	Tiheysfunktio;
	Kertymäfunktio;
Merkintä	tai
Parametrit	(tunnetaan "vapausasteena")
Määrittelyjoukko	x ∈ [0, +∞)
Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Odotusarvo	k
Mediaani
Moodi	max{ k − 2, 0 }
Varianssi	2k
Vinous
Huipukkuus	12 / k
Entropia
Momentit generoiva funktio	(1 − 2 t)−k/2 kun t < ½
Karakteristinen funktio	(1 − 2 i t)−k/2

$\chi ^{2}$ -jakauma on tilastotieteen testeissä käytetty jakauma. Jos satunnaismuuttujat $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ovat riippumattomia ja standardinormaalijakautuneita, niin niiden neliöiden summa on $\chi ^{2}$ -jakautunut n:llä vapausasteella. Jos $X=X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}$ , on siis

X\sim \chi _{n}^{2}.

Jakauman parametri $n$ on positiivinen kokonaisluku. $\chi ^{2}$ -jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Tiheysfunktio on arvojoukossa

f_{X}(x)={\frac {x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}},

jossa $\Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }x^{r-1}e^{-x}dx$ on Eulerin gammafunktio.

Kertymäfunktiota $F_{X}(x)=\int _{0}^{x}f_{X}(z)dz$ ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa.

Odotusarvo ja varianssi ovat

\operatorname {E} (X)=n

ja

\operatorname {Var} (X)=2n.

$\chi ^{2}$ -jakauma on gammajakauman erikoistapaus:

\chi ^{2}=\operatorname {Gamma} \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

Katso myös

Lähteet

↑ Sanders, M. A.: Characteristic function of the central chi-squared distribution planetmathematics.com. Arkistoitu 15.7.2011. Viitattu 6.3.2009.

Aiheesta muualla

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma