Beta-jakauma
Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä
B
e
t
a
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle Beta(\alpha ,\beta )}
Parametrit
α α -->
,
β β -->
∈ ∈ -->
[
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,\infty )}
Määrittelyjoukko
x
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]}
Tiheysfunktio
1
B
(
α α -->
,
β β -->
)
x
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
{\displaystyle {\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}
Kertymäfunktio
I
x
(
α α -->
,
β β -->
)
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta ))}
Odotusarvo
α α -->
α α -->
+
β β -->
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
Moodi
α α -->
− − -->
1
α α -->
+
β β -->
− − -->
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}
Varianssi
α α -->
β β -->
(
α α -->
+
β β -->
)
2
(
α α -->
+
β β -->
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}
Vinous
2
(
β β -->
− − -->
α α -->
)
α α -->
+
β β -->
+
1
(
α α -->
+
β β -->
+
2
)
α α -->
β β -->
{\displaystyle {\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
Huipukkuus
6
[
α α -->
3
+
α α -->
2
(
1
− − -->
2
β β -->
)
+
β β -->
2
(
β β -->
+
1
)
− − -->
2
α α -->
β β -->
(
β β -->
+
2
)
]
α α -->
β β -->
(
α α -->
+
β β -->
+
2
)
(
α α -->
+
β β -->
+
3
)
{\displaystyle {\frac {6[\alpha ^{3}+\alpha ^{2}(1-2\beta )+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}
Entropia
ln
-->
B
(
α α -->
,
β β -->
)
− − -->
(
α α -->
− − -->
1
)
ψ ψ -->
(
α α -->
)
− − -->
(
β β -->
− − -->
1
)
ψ ψ -->
(
β β -->
)
+
(
α α -->
+
β β -->
− − -->
2
)
ψ ψ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}
Momentit generoiva funktio
1
+
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
∏ ∏ -->
r
=
0
k
− − -->
1
α α -->
+
r
α α -->
+
β β -->
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
Karakteristinen funktio
1
F
1
(
α α -->
;
α α -->
+
β β -->
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
hypergeometrinen funktio )
Fisherin informaatiomatriisi
var
-->
[
ln
-->
X
]
cov
-->
[
ln
-->
X
,
ln
-->
(
1
− − -->
X
)
]
cov
-->
[
ln
-->
X
,
ln
-->
(
1
− − -->
X
)
]
var
-->
[
ln
-->
(
1
− − -->
X
)
]
{\displaystyle {\begin{matrix}\\\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{matrix}}}
Beta-jakauma [ 1]
β β -->
− − -->
{\displaystyle \beta -}
[ 2] todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma , jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa . Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.[ 1] [ 2]
Jos satunnaismuuttuja
X
{\displaystyle X}
α α -->
{\displaystyle \alpha }
β β -->
{\displaystyle \beta }
X
∼ ∼ -->
B
e
t
a
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle X\sim Beta(\alpha ,\beta )}
[ 1]
∼ ∼ -->
B
e
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle \sim Be(\alpha ,\beta )}
∼ ∼ -->
β β -->
α α -->
,
β β -->
.
{\displaystyle \sim \beta _{\alpha ,\beta }.}
Satunnaismuuttujalla
X
{\displaystyle X}
perusjoukko on
Ω Ω -->
=
{\displaystyle \Omega =}
α α -->
{\displaystyle \alpha }
β β -->
{\displaystyle \beta }
tiheysfunktio määritellään
f
X
(
x
)
=
1
B
(
α α -->
,
β β -->
)
x
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
,
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1},}
[ 1] missä niin sanottu beta-funktio on
B
(
α α -->
,
β β -->
)
=
∫ ∫ -->
0
1
t
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
t
)
β β -->
− − -->
1
d
t
=
Γ Γ -->
(
α α -->
)
Γ Γ -->
(
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
,
{\displaystyle B(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}},}
[ 1] jossa
Γ Γ -->
(
t
)
{\displaystyle \Gamma (t)}
gammafunktio . Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.[ 3]
Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi (
α α -->
′
=
α α -->
− − -->
1
{\displaystyle \scriptstyle \alpha '=\alpha -1}
β β -->
′
=
β β -->
− − -->
1
{\displaystyle \scriptstyle \beta '=\beta -1}
momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.[ 4]
Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:[ 1]
f
X
(
x
)
>
0
{\displaystyle f_{X}(x)>0}
x
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]}
Jos
α α -->
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
β β -->
=
1
{\displaystyle \beta =1}
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä
x
=
1.
{\displaystyle x=1.}
Jos
α α -->
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
β β -->
>
1
{\displaystyle \beta >1}
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä
x
=
0.
{\displaystyle x=0.}
Jos
α α -->
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
β β -->
>
1
{\displaystyle \beta >1}
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
x
=
α α -->
− − -->
1
α α -->
+
β β -->
− − -->
2
.
{\displaystyle x={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}
Jos
α α -->
<
1
{\displaystyle \alpha <1}
β β -->
<
1
{\displaystyle \beta <1}
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
1.
{\displaystyle x=1.}
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
α α -->
=
β β -->
.
{\displaystyle \alpha =\beta .}
Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon , koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin .[ 1]
Tunnusluvut ja momentit
Momenttifunktio
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä
M
(
t
)
=
E
(
e
t
X
)
=
1
B
(
α α -->
,
β β -->
)
∫ ∫ -->
0
1
e
t
x
x
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
d
x
.
{\displaystyle M(t)=E(e^{tX})={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}e^{tx}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx.}
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit . Origomomenttien yleinen muoto on
μ μ -->
n
=
E
(
X
n
)
=
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
n
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
+
n
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
,
{\displaystyle \mu _{n}=E(X^{n})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha +\beta +n)\Gamma (\alpha )}},}
[ 4] ja koska gammafunktiolla on
Γ Γ -->
(
α α -->
+
1
)
=
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}
E
(
X
)
=
E
(
X
1
)
=
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
1
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
+
1
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
=
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
=
α α -->
α α -->
+
β β -->
{\displaystyle E(X)=E(X^{1})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\alpha \Gamma (\alpha )}{(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha )}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
ja
E
(
X
2
)
=
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
2
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
+
2
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
=
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
(
α α -->
+
1
)
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
(
α α -->
+
β β -->
+
1
)
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
=
α α -->
(
α α -->
+
1
)
(
α α -->
+
β β -->
)
(
α α -->
+
β β -->
+
1
)
.
{\displaystyle E(X^{2})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +2)}{\Gamma (\alpha +\beta +2)\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )(\alpha +1)\alpha \Gamma (\alpha )}{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha )}}={\frac {\alpha (\alpha +1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)}}.}
Keskusmomenttien yleinen muoto on
μ μ -->
n
′
=
E
(
(
X
− − -->
μ μ -->
)
n
)
=
(
− − -->
α α -->
α α -->
+
β β -->
)
n
⋅ ⋅ -->
2
F
1
(
α α -->
,
− − -->
n
;
α α -->
+
β β -->
;
α α -->
+
β β -->
α α -->
)
,
{\displaystyle \mu '_{n}=E((X-\mu )^{n})=\left(-{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\right)^{n}\cdot {}_{2}F_{1}\left(\alpha ,-n;\alpha +\beta ;{\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}\right),}
missä
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}\!F_{1}}
hypergeometrinen funktio .[ 4]
Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan
μ μ -->
=
E
(
X
)
=
∫ ∫ -->
0
1
x
f
X
(
x
)
d
x
=
∫ ∫ -->
0
1
x
1
B
(
α α -->
,
β β -->
)
x
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
d
x
{\displaystyle \mu =E(X)=\int _{0}^{1}xf_{X}(x)\,dx=\int _{0}^{1}x{\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}
=
1
B
(
α α -->
,
β β -->
)
∫ ∫ -->
0
1
x
α α -->
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
d
x
=
1
B
(
α α -->
,
β β -->
)
B
(
α α -->
+
1
,
β β -->
)
{\displaystyle ={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}x^{\alpha }(1-x)^{\beta -1}\,dx={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}B(\alpha +1,\beta )}
=
Γ Γ -->
(
α α -->
+
1
)
Γ Γ -->
(
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
+
1
)
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
Γ Γ -->
(
β β -->
)
=
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
Γ Γ -->
(
β β -->
)
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
Γ Γ -->
(
β β -->
)
=
α α -->
α α -->
+
β β -->
.
{\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}={\frac {\alpha \Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}.}
[ 1]
Tunnuslukuja
Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista
μ μ -->
=
E
-->
(
X
)
=
α α -->
α α -->
+
β β -->
.
{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}.}
[ 4] Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti
μ μ -->
2
′
=
Var
-->
(
X
)
=
σ σ -->
2
=
α α -->
β β -->
(
α α -->
+
β β -->
)
2
(
α α -->
+
β β -->
+
1
)
.
{\displaystyle \mu '_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}
[ 3] [ 4] Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
g
1
=
μ μ -->
3
′
μ μ -->
′
2
3
/
2
=
2
(
β β -->
− − -->
α α -->
)
α α -->
+
β β -->
+
1
(
α α -->
+
β β -->
+
2
)
α α -->
β β -->
.
{\displaystyle g_{1}={\frac {\mu '_{3}}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.}
[ 3] [ 5] [ 4] Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.
Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
γ γ -->
2
=
μ μ -->
′
4
μ μ -->
′
2
2
− − -->
3
=
6
[
α α -->
3
+
α α -->
2
(
1
− − -->
2
β β -->
)
+
β β -->
2
(
β β -->
+
1
)
− − -->
2
α α -->
β β -->
(
β β -->
+
2
)
]
α α -->
β β -->
(
α α -->
+
β β -->
+
2
)
(
α α -->
+
β β -->
+
3
)
.
{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {{\mu '}_{4}}{{\mu '}_{2}^{2}}}-3={\frac {6[\alpha ^{3}+\alpha ^{2}(1-2\beta )+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}.}
[ 3] [ 6] [ 4] Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.
Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun
α α -->
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
β β -->
>
1
{\displaystyle \beta >1}
M
o
=
α α -->
− − -->
1
α α -->
+
β β -->
− − -->
2
.
{\displaystyle Mo={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}
Jos
α α -->
<
1
{\displaystyle \alpha <1}
β β -->
<
1
{\displaystyle \beta <1}
α α -->
=
β β -->
=
1
{\displaystyle \alpha =\beta =1}
tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.[ 3]
Tarkastellaan toistokoetta , jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä
p
{\displaystyle p}
1
− − -->
p
{\displaystyle 1-p}
n
=
100
{\displaystyle n=100}
X
{\displaystyle X}
binomijakaumaa
X
∼ ∼ -->
B
i
n
(
100
,
p
)
{\displaystyle X\sim Bin(100,p)}
p
{\displaystyle p}
k
=
60
{\displaystyle k=60}
p
∼ ∼ -->
B
e
t
a
(
61
,
41
)
{\displaystyle p\sim Beta(61,41)}
[ 7]
Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa , mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään
p
∼ ∼ -->
B
e
t
a
(
k
+
1
,
n
− − -->
k
+
1
)
.
{\displaystyle p\sim Beta(k+1,n-k+1).}
Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä
n
{\displaystyle n}
k
/
n
{\displaystyle k/n}
[ 7]
Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.[ 7]
Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien
U
i
∼ ∼ -->
U
(
0
,
1
)
{\displaystyle U_{i}\sim U(0,1)}
n satunnaismuuttujalle
U
i
{\displaystyle U_{i}}
U
1
,
{\displaystyle U_{1},}
U
2
{\displaystyle U_{2}}
,
.
.
.
,
{\displaystyle ,...,}
U
n
{\displaystyle U_{n}}
U
(
i
)
,
{\displaystyle U_{(i)},}
i :nnes. (eli
U
(
1
)
{\displaystyle U_{(1)}}
U
(
2
)
{\displaystyle U_{(2)}}
U
(
n
)
{\displaystyle U_{(n)}}
U
(
k
)
∼ ∼ -->
B
e
t
a
(
k
,
n
+
1
− − -->
k
)
{\displaystyle U_{(k)}\sim Beta(k,n+1-k)}
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle k=1,2,...,n}
[ 8]
Muut jakaumat
Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma , mikäli parametrit ovat molemmat yksi
X
∼ ∼ -->
B
e
t
a
(
1
,
1
)
∼ ∼ -->
U
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle X\sim Beta(1,1)\sim U(0,1).}
[ 2]
↑ a b c d e f g h Mellin, Ilkka: Todennäköisyysjakaumat , s. 407−410, luentomonisteesta Todennäköisyyslaskenta , Aalto-yliopisto, 2006
↑ a b c Rahiala, Markku : Satunnaismallien teoria (Arkistoitu – Internet Archive), s. 21−22, Oulun yliopisto, 2002↑ a b c d e Johnson, Paul & Beverlin, Matt: Beta Distribution , 2013
↑ a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Beta Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ a b c Stich, Slater: Use the Beta Distribution
↑ Laurent, Stéphane: The Beta distribution also appears as an order statistic...
Aiheesta muualla
Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Moniulotteisia jakaumia
![{\displaystyle x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2)
![{\displaystyle {\frac {6[\alpha ^{3}+\alpha ^{2}(1-2\beta )+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626a31af2c341c68203ff1c65a6c43548ba570fc)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c89e36ccbf7522eba17d6e5ddb267e7cef46b8e)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\\\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1acc13ea0028ec81e619308a5f163484b225412)
![{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {{\mu '}_{4}}{{\mu '}_{2}^{2}}}-3={\frac {6[\alpha ^{3}+\alpha ^{2}(1-2\beta )+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4a1ddb02731da3c45ef3a7e6fb1d8785de755b)
