Neliöluku on positiivinen kokonaisluku, jonka osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa neliön muotoinen kuvio.^[1]

Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeella ${\displaystyle n^{2}}$, jossa n on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 9 on neliöluku, koska ${\displaystyle 3^{2}=9.}$^[1] Kaksi­kymmentä ensimmäistä neliölukua ovat 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 ja 400^[2].

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa neliöluvussa ${\displaystyle N_{n}}$ pariton luku ${\displaystyle 2n-1.}$

Neliöluvut ovat kolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja^[3]. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Neliöluvut ${\displaystyle N_{n}}$ saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan ${\displaystyle n}$ peräkkäistä paritonta lukua yhteen:

${\displaystyle N_{n}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+\dotsb +(2n-1)=n^{2}.}$ ^[1]

Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensimmäisenä lukuna on pienin neliöluku ${\displaystyle N_{1}=1}$ ja sitten siihen lisätään gnomoneita ${\displaystyle g_{n}=2n+1}$

${\displaystyle N_{n}=N_{1}+g_{1}+g_{2}+\dots +g_{n-1}.}$

Neliölukujoukon komplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeen ${\displaystyle a_{n}=n+\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\sqrt {n}}\right\rfloor }$ avulla, missä käytetään lattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.^[1]

Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti.

${\displaystyle 0+\color {blue}1\color {black}=1}$	${\displaystyle 1+\color {blue}3\color {black}=4}$	${\displaystyle 4+\color {blue}5\color {black}=9}$	${\displaystyle 9+\color {blue}7\color {black}=16}$

Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku on ${\displaystyle N_{n+1}=N_{n}+(2n-1)=n^{2}+(2n-1)=n^{2}+n+1=(n+1)^{2}.}$^[1]

Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla

${\displaystyle N_{n}=T_{n}+T_{n-1}={\frac {1}{2}}n(n+1)+{\frac {1}{2}}(n-1)n=n^{2}}$^[1]

Jos luku ${\displaystyle n}$ parillinen luku, niin luvut ${\displaystyle n-1}$ ja ${\displaystyle n+1}$ ovat peräkkäiset parittomat luvut. Vastaavasti, jos ${\displaystyle n}$ on pariton luku, niin luvut ovat peräkkäiset parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli

${\displaystyle N_{n}=(n-1)(n+1)+1=(n^{2}-1)+1=n^{2}.}$ ^[1]

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi ${\displaystyle 3=1^{2}+1^{2}+1^{2},}$ ${\displaystyle 4=2^{2},}$ ${\displaystyle 5=2^{2}+1^{2}}$ ja ${\displaystyle 7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}.}$ Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi ${\displaystyle 3=2^{2}-1^{2},}$ ${\displaystyle 5=2^{2}+1^{2}}$ ja ${\displaystyle 7=3^{2}-1^{2}-1^{2}.}$^[1]

Neljän parittoman luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljän parillisen luvun neliöitten summana.^[1]

Alkuluku ${\displaystyle p}$, joka voidaan lausua muodossa ${\displaystyle p=4n+1}$, voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska ${\displaystyle 29=4\cdot 7+1=2^{2}+5^{2}.}$^[4]

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa. ^[5] Euroopassa Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyi lukuteoriassa, joka voidaan katsoa syntyneen tästä harrastuksesta. ^[6]

Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenä Augustin-Louis Cauchy. ^[7]

• OEIS - kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Solmu-lehti: Tehtäviä kolmio ja neliöluvuista
• Pythagoraan kolmikko

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. Virhe: Virheellinen ISBN-tunniste