Neliöjuuri on matematiikkaan, sekä aritmetiikkaan että algebraan, liittyvä laskutoimitus. Luvun ${\displaystyle x}$ neliöjuuri ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ on se ei-negatiivinen luku, joka itsellään kerrottuna on ${\displaystyle x}$.^[1] Esimerkiksi kokonaisluvun ${\displaystyle 25}$  ${\displaystyle (=5\cdot 5)}$ neliöjuuri on ${\displaystyle 5}$.

Sana neliöjuuri viittaa neliöyhtälön juureen. Yllä esitetty ongelma voidaan algebrassa pukea yhtälöksi ${\displaystyle x^{2}=25}$,  jonka ratkaisu on  ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {25}}=\pm 5}$. Tällainen yhtälö on perinteisesti ratkaistu neliöjuuren avulla, vaikka ennen muinoin ei negatiivisia lukuja annettukaan tulokseksi.

Neliöjuuri määritellään aritmetiikassa yhtälön sijasta ensin mainitulla tavalla:

${\displaystyle {\sqrt {a}}=b\Leftrightarrow a=b^{2}\land b\geq 0}$

eli (vasemmalta oikealle) "${\displaystyle b}$  on  ${\displaystyle a}$:n neliöjuuri, mikäli  ${\displaystyle a}$  on  ${\displaystyle b^{2}}$  ja  ${\displaystyle b}$  on ei-negatiivinen".

Luku on neliöluku, jos se voidaan esittää kokonaisluvun neliönä. Neliölukujen neliöjuuret ovat luonnollisia lukuja. Esimerkiksi ${\displaystyle 9}$ on ${\displaystyle 3}$:n neliöluku ja siten

${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$, koska sekä  ${\displaystyle 3\geq 0}$  että  ${\displaystyle 3^{2}=3\cdot 3=9}$.

Vaatimus, että neliöjuuren tulos on positiivinen eli ${\displaystyle {\sqrt {a}}\geq 0}$, tulee aina muistaa ja siihen voi myös määritelmän takia vedota.

Muiden luonnollisten lukujen, jotka eivät olleet neliölukuja, neliöjuuret ovat irrationaalisia. Siten alkulukujen neliöjuuret ovat irrationaalilukuja, samoin erilaisten alkulukujen tulojen neliöjuuret muodostavat irrationaaliluvut. Lopulliseksi rationaalisuusehdoksi voidaan muotoilla: "Jos luonnollinen luku voidaan jakaa tekijöihin niin, että kaikki tekijät ovat neliölukuja, on luvun neliöjuuri luonnollinen luku".

Edellinen päättely johtuu seuraavasta tulon neliöjuuren laskulaista:

${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$,  koska sekä  ${\displaystyle \left({\sqrt {a}}{\sqrt {b}}\right)^{2}={\sqrt {a}}^{2}{\sqrt {b}}^{2}=ab}$  että  ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}\geq 0}$.

Siksi  ${\displaystyle {\sqrt {180}}={\sqrt {2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}}={\sqrt {2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}}={\sqrt {2^{2}}}{\sqrt {3^{2}}}{\sqrt {5}}=2\cdot 3\cdot {\sqrt {5}}=6{\sqrt {5}}}$  on tekijän  ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$  takia irrationaalinen.

Nollan neliöjuuri on nolla, koska

${\displaystyle {\sqrt {0}}=0\Leftrightarrow 0^{2}=0}$  sekä  ${\displaystyle 0\geq 0}$.

Negatiivisilla kokonaisluvuilla neliöjuuri ei ole määritelty reaalilukujen joukossa. Jos merkitään yksinkertaisesti

${\displaystyle {\sqrt {-1}}=i}$,

missä ${\displaystyle i}$ on imaginääriyksikkö, voidaan negatiivisen luvun arvo laskea tulon neliöjuuren avulla

${\displaystyle {\sqrt {-a}}={\sqrt {-1\cdot a}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {a}}=i{\sqrt {a}}}$.

${\displaystyle {\sqrt {1}}}$	${\displaystyle =\,}$	1
${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \approx }$	1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \approx }$	1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
${\displaystyle {\sqrt {4}}}$	${\displaystyle =\,}$	2
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	${\displaystyle \approx }$	2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle \approx }$	2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	${\displaystyle \approx }$	2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
${\displaystyle {\sqrt {8}}}$	${\displaystyle \approx }$	2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
${\displaystyle {\sqrt {9}}}$	${\displaystyle =\,}$	3
${\displaystyle {\sqrt {10}}}$	${\displaystyle \approx }$	3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
${\displaystyle {\sqrt {11}}}$	${\displaystyle \approx }$	3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
${\displaystyle {\sqrt {12}}}$	${\displaystyle \approx }$	3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
${\displaystyle {\sqrt {13}}}$	${\displaystyle \approx }$	3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
${\displaystyle {\sqrt {14}}}$	${\displaystyle \approx }$	3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
${\displaystyle {\sqrt {15}}}$	${\displaystyle \approx }$	3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
${\displaystyle {\sqrt {16}}}$	${\displaystyle =\,}$	4
${\displaystyle {\sqrt {17}}}$	${\displaystyle \approx }$	4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
${\displaystyle {\sqrt {18}}}$	${\displaystyle \approx }$	4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
${\displaystyle {\sqrt {19}}}$	${\displaystyle \approx }$	4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
${\displaystyle {\sqrt {20}}}$	${\displaystyle \approx }$	4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Rationaalilukujen neliöjuuria voi laskea murtolukumerkinnän avulla. Silloin tulee soveltaa osamäärän neliöjuuren laskukaavaa:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}$,  koska sekä  ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\right)^{2}={\frac {{\sqrt {a}}^{2}}{{\sqrt {b}}^{2}}}={\frac {a}{b}}}$  että  ${\displaystyle {\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\geq 0}$.

Positiivisen luvun ${\displaystyle {\frac {9}{25}}}$ neliöjuuri ${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{25}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {25}}}={\frac {3}{5}}}$ on rationaalinen, mutta ${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{16}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ taas irrationaalinen. Negatiivisten rationaalilukujen neliöjuuret ovat nytkin imaginäärilukuja.

Reaalilukujen neliöjuuret voidaan laskea tarkasti jonkin algebrallisen yhtälön tai neliöjuurien laskukaavan avulla. Tulos on silloinkin irrationaalinen ja joskus harvoin ratio- tai kokonaisluku. Jos neliöjuuren likiarvo riittää, voidaan soveltaa erilaisia numeerisia laskumenetelmiä, joita on ohjelmoitu laskimiin. Laskimen tulos, joka lasketaan 10 desimaalin tarkkuudella, on tosiasiassa vain rationaaliluku ja siten neliöjuuren tarkan arvon likiarvo. Negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri on imaginaariluku. Vanhin tunnettu numeerinen laskumenetelmä on yli 2500 vuotta vanha babylonialainen iteraatiomenetelmä, joka on ensimmäinen alla esitellyistä algoritmeistä.

Reaaliluvun neliöjuuren arvon voi laskea käyttämällä eksponenttifunktioita seuraavaan tapaan:

${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{\frac {\ln a}{2}}}$   tai   ${\displaystyle {\sqrt {a}}=10^{\frac {\lg a}{2}}}$.

Päättymättömällä Taylorin sarjalla voi laskea luvun neliöjuuren, kunhan lisäys ${\displaystyle x}$ on ${\displaystyle |x|\leq 1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {1/2}{n}}\,x^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}\,{\frac {(-1)^{n}}{(1-2n)\,4^{n}}}\,x^{n}\\=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}\pm \dots \end{aligned}}}$

Olkoot ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ reaalilukuja, jolloin ne voivat olla myös rationaali- ja kokonaislukuja. Lausekkeiden sieventämisessä voidaan hyödyntää muun muassa seuraavia laskulakeja: ^[2]

Tulon neliöjuuri	${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}\qquad (a{,}b\geq 0)}$
Osamäärän neliöjuuri	${\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\qquad (b\neq 0)}$
Neliöjuuren neliöiminen	${\displaystyle {\sqrt {a}}^{2}=a}$
Neliöjuuren neliöiminen	${\displaystyle {\sqrt {a}}^{2k}=a^{k}}$
Neliön juuretus	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|}$
Neliöluku neliöjuuressa	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=|a|{\sqrt {b}}}$
Neliöjuuren otto säilyttää suuruusjärjestyksen	${\displaystyle 0\leq a<b\;\Longleftrightarrow \;0\leq {\sqrt {a}}<{\sqrt {b}}}$
Neliöjuurten erotus/summa osamääräksi	${\displaystyle {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}={\frac {a-b}{{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}}\Longleftrightarrow {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}={\frac {a-b}{{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}}}$
Neliöjuuren neliöjuuri on neljäsjuuri	${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {a}}}={\sqrt[{4}]{a}}}$
Neliöjuuren tulkinta potenssina	${\displaystyle {\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{2}}\qquad (a\geq 0)}$

Suomen kouluissa on opetettu pitkään, että lausekkeessa oleva neliöjuuri tulee laventaa pois nimittäjästä. Tähän oli syynä se, että ennen taskulaskinten aikakautta mahdollinen likiarvon laskeminen oli helpompaa, jos monidesimaalinen juuren likiarvo oli jaettavana eikä jakajana. Laskinten yleistyttyä tämä perustelu on menettänyt merkityksensä,^[3] mutta neliöjuuren laventamista osoittajaan vaaditaan usein edelleen.^[4]

Kompleksiluvut ${\displaystyle z}$ ovat reaaliluvun ${\displaystyle a}$ ja imaginaariluvun ${\displaystyle bi}$  summa  ${\displaystyle z=a+bi}$.

Koska

${\displaystyle (x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi}$,

voidaan kompleksiluvun neliöjuurelle johtaa lauseke ratkaisemalla toisen asteen yhtälöpari:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=a}$

${\displaystyle 2xy=b}$.

Ratkaisuiksi saadaan:^[5]

${\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

Koska ${\displaystyle 2xy=b}$, on x:llä ja y:llä sama etumerkki, jos b on positiivinen, muussa tapauksessa niillä on vastakkaiset etumerkit. Koska toisaalta kompleksiluvun z = a + bi itseisarvo on ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, todetaan, että yhtälön ${\displaystyle (x+yi)^{2}=a+bi}$ toteuttavat kompleksiluvut ovat:

${\displaystyle {\sqrt {a+ib}}=\pm ({\sqrt {\frac {|z|+a}{2}}}+i{\frac {b}{|b|}}{\sqrt {\frac {|z|-a}{2}}})}$,

kun ${\displaystyle b\neq 0}$ eli z ei ole reaaliluku.^[5]

Esimerkiksi imaginaariyksikön i neliöjuuren arvoiksi saadaan:

${\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

Tavallisesti määritellään lisäksi, että kompleksiluvun neliöjuurella tarkoitetaan näistä nimenomaan sitä, jonka reaaliosa on positiivinen.

Yksinkertaisemmin kompleksiluvun neliöjuuri saadaan kuitenkin muuntamalla se napakoordinaatiston esitysmuotoon kaavalla

${\displaystyle z=a+bi=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$

ja soveltaa tähän de Moivren kaavaa

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {a+bi}}=r^{\frac {1}{2}}(\cos {\frac {\theta +2k\pi }{2}}+i\sin {\frac {\theta +2k\pi }{2}})}$ ,

missä k = 0 ja 1. Kompleksilukujen neliöjuuria on siten kaksi yhtä aikaa eli  ${\displaystyle r^{\frac {1}{2}}(\cos {\frac {\theta }{2}}+i\sin {\frac {\theta }{2}})}$   ja   ${\displaystyle r^{\frac {1}{2}}(\cos {\frac {\theta +2\pi }{2}}+i\sin {\frac {\theta +2\pi }{2}})}$.

Jos kompleksilukua merkitään potenssimuodossa

${\displaystyle z=re^{\varphi i}{\text{, jossa }}-\pi <\varphi \leq \pi ,\,}$

saadaan neliöjuureksi

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2}.}$^[6]

Neliön lävistäjän ja sivun pituuksien suhde on ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Jos neliön sivut ovat ${\displaystyle 1}$, on lävistäjä suoraan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Kuution, jonka sivut ovat 1, avaruuslävistäjä on ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$. ^[7]

Neliön pinta-alan ${\displaystyle A}$ avulla saadaan neliön sivun ${\displaystyle s}$ pituudeksi ${\displaystyle s={\sqrt {A}}}$. ^[7]

Pythagoraan lauseen mukaan jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat a ja b, sen hypotenuusan pituus on ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$. ^[7]

Tasasivuisen kolmion korkeus on sen sivun pituus kerrottuna luvulla ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, ja sen pinta-ala on sen sivun neliö kerrottuna luvulla ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}}$. ^[7]

Kahden luvun ${\displaystyle a}$  ja  ${\displaystyle b}$ geometrinen keskiarvo eli keskiverto on ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ . Se toteuttaa verrannon ${\displaystyle {\frac {a}{x}}={\frac {x}{b}}}$. ^[2]

Kahden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöjuurien erotus on sitä pienempi, mitä suuremmista luvuista on kysymys.^[8] Eli kun esim. kolmea peräkkäistä lukua merkitään ${\displaystyle n-1,n,n+1}$:

${\displaystyle {\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}<{\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}}}$.

Neliöjuuri tunnettiin laskuoperaationa muinaisissa sivilisaatioissa, joissa käytiin kauppaa ja rakennettiin runsaasti. Tällaisia seutuja olivat Kaksoisvirran maan niin sanotut babylonialaiset valtakunnat, jossa opetettiin neliöjuuren laskemista ainakin 2000 eaa. – 600 eaa. Näiden nuolenpääkirjoitusta sisältäneitä savitauluja opittiin lukemaan vasta 1930-luvulla. Eräässä savitaulusta vuodelta 1800 eaa. – 1600 eaa., joka on Yalen yliopiston kokoelman taulu numero 7289^[9], on merkitty ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$:n likiarvoksi 1;24,51,10 (seksagesimaalijärjestelmä) eli 1,414222 (desimaalijärjestelmä). Tämä arvo poikkeaa tarkasta arvosta 0,000 008. Babylonialainen algoritmi neliöjuuren ratkaisemiseksi oli varsin moderni, ja se on selostettu alempana. Edellä mainittu tulos on saatu alkuarvauksella 1;30, jolla on sitten iteroitu kahdesti. ^[10]

Kaksoivirran maan naapurikansoja idässä ja pohjoisessa olivat persialaiset, elamilaiset ja induslaiset. Vaikka he kaikki oppivat kirjoittamaan hyvin varhain, ei kahdelta ensin mainitulta ole jäänyt vanhoja matematiikkaa esittelevia kirjoituksia. Induskulttuuri ilmeisesti säilyttivät babylonialaisten matematiikan taitoja, mutta vasta 500-luvulta jaa. on säilynyt tekstejä. Vaikka vaikutteita oli haettu Välimereltä, ja annettukin sinne, on intialaisten matematiikassa ollut omaperäisiä piirteitä. Aryabhata kirjoitti tehtäväkokoelmia, joissa hän tarjosi matemaattisia pähkinöitä ja esitteli laskualgoritmeja runollisesti esitettynä monelta eri alalta. Näiden joukossa olivat tavat laskea neliöjuuri ja kuutiojuuri eri kokonaisluvuille. ^[11]

Ennen Kaksoisvirtain maan kansojen savitaulujen tulkintaa oletettiin vasta antiikin kreikkalaisten keksineen neliöjuuren laskemiseen käytettävän algoritmin. Kunnia neliöjuuren laskemiseen keksimisestä on annettu Heronille (100 jaa.) tai Arkhytaalle (428–365 eaa.). Vaikka kreikkalaisten muistiinpanoissa viitattiin muinaiseen Egyptiin matematiikan keksimisen kehtona, eivät egyptiläiset tunteneet löydettyjen papyruksien valossa Pythagoraan lausetta eivätkä liioin neliöjuurten laskualgoritmia. ^[10]

Arabit valloittivat laajat alueet Lähi-idässä 600-luvulta lähtien ja perustivat valtakuntia, jotka 800-luvulta lähtien alkoivat julkaista islamilaista kirjallisuutta. Kalifit hankkivat käsiinsä helleenien ja hellenistien käsikirjoituksia ja antoivat kääntää niitä arabiaksi. 800-luvulta alkaen islamilaisessa maailmassa alkoi lähinnä persialaisten tutkijoiden voimin matematiikan tutkimus, joka vei sen johtoon koko maailmassa 1400-luvulle asti. Myös Euroopassa kuuluisaksi tullut Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi kirjoitti 800-luvulla useita teoksia. Näissä hän esitteli intialaiset numerot, hellenistien unohtuneet geometrian taidot ja tietenkin juuren käyttö algebran laskuissa. ^[12]

Myös kiinalainen matematiikka on hyvin vanhaa. Sitä esitellään 300–200 eaa. kirjoitetuissa kahdessa opuksessa, joiden sisältöä on säilynyt nykypäiviin asti. Toisessa, nimeltään Tšiu-tšang suan-su eli Yhdeksän matematiikan taitoja käsittelevää lukua, on nykyihmisellekin tuttuja neliö- ja kuutiojuuren laskusääntöjä. Siinä merkittiin juuret desimaalijärjestelmän avulla kaavojen  ${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {100a}}/10}$  ja  ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{1000a}}/10}$  mukaisesti, jotta laskut olisivat helpompia suorittaa. ^[11]

Neliöjuuren symbolia ${\displaystyle {\sqrt {\;}}}$ käytettiin ensimmäisen kerran 1525 Christoph Rudolff'in kirjassa Coss.^[13] Se on oletettavasti muotoutunut pienestä r-kirjaimesta. Latinan sana radix tarkoittaa juurta.

Neliöjuurelle voi saada likiarvoja erilaisten kaavojen ja algoritmien avulla.

Esimerkiksi muinaiset babylonialaiset^[10] käyttivät seuraavaa algoritmia laskiessaan ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$:

1. Valitaan mielivaltainen positiivinen luku a(n). Mitä lähempänä juurta sen parempi
2. Valitaan uudeksi luvuksi a1 lukujen a (n) ja x/a aritmeettinen keskiarvo
3. Toistetaan kohta 2

Lasketaan tämän avulla likiarvo neliöjuuri kahdelle, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$:

1. Valitaan esimerkiksi a₀ = 1.
2. Lasketaan c = (a₀ + 2/a₀)/2 = (1+2)/2 = 3/2 = 1,5.
3. Valitaan nyt a₁ = 1,5.
4. Lasketaan c = (a₁ + 2/a₁)/2 = (3/2 + 4/3)/2 = 17/12
5. Valitaan a₂ = 17/12
6. Lasketaan c = (a₂ + 2/a₂)/2 = (17/12 + 24/17)/2 = 577/408
7. Valitaan a₃ = 577/408 ≈ 1,41421

Jatketaan loputtomiin. Neljän askeleen jälkeen saatiin likiarvo 1,41421, missä on viisi oikeaa desimaalia.

Tämä algoritmi voidaan kirjoittaa myös lukujonomuodossa:

${\displaystyle a_{0}=2,a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}}$

Määritelty lukujono (a_n) lähestyy arvoa ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, kun n lähestyy ääretöntä.

Haarukoinnilla tarkoitetaan välien puolittamista siten, että haluttu arvo on aina jommassakummassa puolikkaassa. Haetaan esimerkkinä taas likiarvo luvulle ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

1. Valitaan lähtöväliksi esimerkiksi [a,b] = [1 ; 2]. Välin keskipisteeksi saadaan c = 1,5.
2. On löydetty kaksi väliä: [a,c] = [1 ; 1,5] ja [c,d] = [1,5 ; 2]. Koska (1,5)²=2,25 >2, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ∈ [1 ; 1,5].
3. Valitaan uudeksi väliksi siis [a₁,b₁] = [1 ; 1,5]. Välin keskipiste c₁ = 1,25.
4. Jälleen kaksi väliä: [a₁,c₁] = [1 ; 1,25], [c₁,b₁] =[1,25 ; 1,5]. Koska (1,25)² = 1,5625 < 2, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ∈ [1,25 ; 1,5].
5. Valitaan uudeksi väliksi siis [a₂,b₂] = [1,25 ; 1,5]. Välin keskipiste c₂ = 1,375.

kaksi väliä: [a₂,c₂] = [1,25 ; 1,375], [c₂,b₂] =[1,375 ; 1,5]. Koska (1,375)² ≈ 1,89 < 2, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ∈ [1,375 ; 1,5].

1. Jatkamalla näin lähestytään arvoa (laskin) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1,41421...

Neliöjuurta voi arvioida algebrallisella kaavalla.

Tiedetään, että (a+ (b/2a))² = a² + b + (b²/4a²). Kun a >0 ja b>0 ja c = a² + b, saadaan luvun c neliöjuurelle arvion ${\displaystyle {\sqrt {c}}={\sqrt {a^{2}+b}}\approx {\sqrt {a^{2}+b+(b^{2}/4a^{2})}}={\sqrt {(a+(b/2a))^{2}}}=a+(b/2a)}$.

Kaava (1) √(a² + b) ≈ a + (b/2a)
Esimerkiksi: √7 = √(2²+3) ≈ 2 + 3/(2*2) = 11/4 = 2,75.

Toinen kaava (2) √(a² - b) ≈ a - (b/2a).

Toistamalla tätä menettelyä ja valitsemalla kaava (1) (jos saatu juuri on liian pieni) ja kaava (2) (jos liian suuri) saadaan parempia ja parempia rationaalisia likiarvoja neliöjuuren arvolle.

Esimerkin jatkoa:
Koska (2,75)² > (2,7)² = 7,29 > 7, valitsemme kaava (2).

√7 = √((11/4)² - (9/16)) ≈ (11/4) - (9/16) / (22/4) = 233/88 ≈ 2,648.

Ja niin edelleen.

(laskin) ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ ≈ ${\displaystyle 2{,}64575}$...

Neliöjuuren ja muiden juurten voi laskea tuttua jakolaskualgoritmia muistuttavalla tavalla. "Juurikulma" perustuu tutulle identititeetille:

${\displaystyle (1)\ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$.

Algoritmin etuna on se, että jokaisen askeleen jälkeen saadaan oikea desimaali ja sitä myötä täsmällinen rationaalinen likiarvo.

"Juurikulman" perustana oleva algoritmi voidaan selittää seuraavasti:

Oletetaan, että halutaan laskea arvon neliöjuuri 144:stä eli ${\displaystyle {\sqrt {144}}}$.

Tiedetään, että 100 ≤ 144, joten ${\displaystyle 10\leq {\sqrt {144}}}$.

Käytetään nyt kaavaa (1) ja sijoitetaan siihen a = 10, b = r:

${\displaystyle (10+r)^{2}\leq 144}$

${\displaystyle 100+20r+r^{2}\leq 144}$

${\displaystyle 20r+r^{2}\leq 144-100=44}$

${\displaystyle r(20+r)\leq 44}$

Nyt kysymys: mikä on suurin luonnollinen luku r, joka toteuttaa ehdon ${\displaystyle r(20+r)\leq 44}$?

Selvästi r = 2.

Tässä tapauksessa "jako" menee tasan, eli ${\displaystyle 2(20+2)=44}$ ja siten siis ${\displaystyle 12^{2}=144}$ ja ${\displaystyle {\sqrt {144}}=12}$

Sama lasku "juurikulmassa" tapahtuu seuraavasti:

Jaetaan ensin juurrettava luku kahden numeron osiin desimaalipilkusta alkaen:

144 = 1 44 ja sovelletaan yllä kuvattua algoritmia.

 1  2
|1 44
-1    (=12) 
 0 44
  -44 (=2*(20+2))
    0

Toinen esimerkki ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$:

Jaetaan taas juurrettava kahden numeron osiin:

7 = 7, 00 00 00 00 00

 2,  6  4  5  7
|7, 00 00 00 00
-4                    (= 22)                                               2
 3 00                                                                      2
-2 76                 (= 6 * (2 * 20 + 6) = 6 * 46)                        46
   24 00                                                                    6
  -20 96              (= 4 * ((400 + 2 * 60) + 4) = 4 * 524)               524
    3 04 00                                                                  4
   -2 64 25           (= 5 * ((5200 + 2 * 40) + 5) = 5 * 5285)             5285
      39 75 00                                                                5
     -37 03 49        (= 7 * (((52800 + 2 * 50) + 7) = 7  * 52907)         52907
       2 71 51                                                                 7
                                                                           52914_

Saadaan likiarvo ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ ≈ 2,6457. Huomaa oikeimpana kulkeva lukusarja!

Lukuja 1, 4, 9, 16, 25,... sanotaan neliöluvuiksi. Neliöluvut ovat niin sanottuja kuviolukuja.

Neliölukujen avulla saadaan mielenkiintoinen tapa laskea neliöjuuria. Se perustuu siihen, että jokainen neliöluku on peräkkäisten parittomien lukujen summa. Tämä nähdään esimerkiksi algebrallisesti:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)=\sum _{k=1}^{n}{2k}-\sum _{k=1}^{n}{1}=2\sum _{k=1}^{n}{k}-\sum _{k=1}^{n}{1}=2\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)-n=n(n+1)-n=n^{2}}$.

Selvemmin mainittu yhteys nähdään esimerkiksi alla olevasta kuviosta:

1   *    4   **  = *  *  = 1 + 3   9   *** = *  *   * = 1 + 3 + 5
             **      **                ***     **   *
                                       ***        ***

16   **** = *  *   *    *      = 1 + 3 + 5 + 7
     ****     **   *    *
     ****        ***    *
     ****            ****

Ja niin edelleen.

Sama toimii toiseenkin suuntaan: vähentämällä luvusta parittomia lukuja saadaan luvun neliöjuuri tai sen likiarvo.

Esimerkki ${\displaystyle {\sqrt {25}}}$:

Luvuilla:

(1) 25 - 1 = 24

(2) 24 - 3 = 21

(3) 21 - 5 = 16

(4) 16 - 7 = 9

(5) 9 - 9 = 0

Viisi vähennyslaskua:

${\displaystyle {\sqrt {25}}=5}$

Kuvioilla:

(0) *****   (1)  ****   (2)   ***   (3)    **   (4)     *   (5) 
    *****       *****         ***          **           *       
    *****       *****       *****          **           *       
    *****       *****       *****       *****           *       
    *****       *****       *****       *****       *****       

Yllä olevassa esimerkissä vähennys meni tasan, ja saatiin tarkka arvo. Samalla algoritmilla voidaan kuitenkin laskea myös likiarvoja juurelle.

Esimerkki ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$:

(1) 2 - 1 = 1

Vähennys loppuu tähän, koska 1 - 3 on negatiivinen: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1.

Lisätään vähennysjäännöksen (1) perään kaksi nollaa (100) (vertaa "juurikulma").

Lasketaan viimeisen vähennetyn (1) ja ensimmäisen ei-vähennetyn (3) aritmeettinen keskiarvo: (1+3)/2=2.

Kerrotaan keskiarvo 10:llä (20).

Jatketaan vähennystä seuraavasta parittomasta (21)

(1) 100 - 21 = 79

(2) 79 - 23 = 56

(3) 56 - 25 = 31

(4) 31 - 27 = 4

Vähennys loppuu tähän, koska 4 - 27 on negatiivinen: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1,4

Tehdään kuten edellä: 4 → 400, 10*((27+29)/2) + 1 = 281

(1) 400 - 281 = 119

Vähennys loppuu tähän, koska 119 - 283 on negatiivinen: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1,41

Tehdään kuten edellä: 119 → 11900, 10*((281+283)/2) + 1 = 2821

(1) 11900 - 2821 = 9079

(2) 9079 - 2823 = 6256

(3) 6256 - 2825 = 3431

(4) 3431 - 2827 = 604

Vähennys loppuu tähän, koska 604 - 2829 on negatiivinen: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1,414

Tehdään kuten edellä: 604 → 60400, 10*((2827+2829)/2) + 1 = 28281

(1) 60400 - 28281 = 32119

(2) 32119 - 28283 = 3836

Vähennys loppuu tähän, koska 3836 - 28285 on negatiivinen: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1,4142...

Vielä 1900-luvulla neliöjuuri määriteltiin oppikirjoissa yleisesti kaksihaaraisena, eli nykyisen määritelmän epänegatiivisuusehto puuttui. Tällöin positiiivista arvoa kutsutaan neliöjuuren pää- ja negatiivista sivuhaaraksi. Nykyisen määritelmän etu on, että yksihaaraisena neliöjuuri täyttää klassisen funktion määritelmän.^[14]

• Juuri (laskutoimitus)
• Kuutiojuuri
• Neliö (algebra)

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa I, s. 342. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0
• Spiegel, Murray M.; Lipschutz, Seymour; Liu, John: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009. ISBN 0-07-154855-6 , ISBN 0-07-154856-4 (eBook)
• Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja) Helsinki: Otava, 2006. ISBN 951-1-20607-9

• Kaleva, Osmo: Numeerinen analyysi. (Opintomoniste 163) Tampere: TTKK, 1993. ISBN 951-721-941-5

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Neliöjuuri.

• Ohjeet: Miten laskea neliöjuuri käsin?, 1998