Gelašvili aloitti uransa kasvattajaseurassaan Traktor Tšeljabinskissä vuonna 1999. Ensin pelaamalla Traktorin kakkosjoukkueessa Venäjän kolmanneksi korkeimmalla sarjatasolla Pervaja ligassa (1999–2000), myöhemmin hän pelasi myös ykkösjoukkueessa, niin Vysšaja Ligassa (2000–2002) kuin Superliigassa (2006–2008).
Vuonna 2002 Georgi Gelašvili siirtyi Kazakstanin jääkiekkoliigaan, koska ei päässyt pelaavaan rooliin Traktorissa. Kazakmys Satpajevissä hän sai vastuuta ja nousi joukkueen johtavaksi maalivahdiksi. Hänen esityksensä huomioitiin yleisesti Kazakstanissa ja hänelle tarjottiin Kazakstanin kansalaisuutta ja mahdollisuutta pelata Kazakstanin maajoukkueessa, Gelašvili kuitenkin kieltäytyi. Vuonna 2006 Gelašvili palaisi takaisin Venäjälle, superliigaan ja Traktoriin. Kazahmys vastusti siirtoa ja tapausta puitiin oikeudessakin, mikä päättyi Traktorin eduksi.
Vuonna 2008 Gelašvili riitautui Traktorin päävalmentajan Andrei Nazarovin kanssa ja Georgi Gelašvili pelasi loppukauden Metšel Tšeljabinskissä Vysšaja Ligassa. Kaudelle 2008–2009 hän siirtyi uuden KHL-liigan Lokomotiv Jaroslavliin. Kausi alkoi varamaalivahdin roolissa, mutta Lokomotivin ykkösmaalivahdin Sergej Zvyaginin kehnot esitykset avasivat Gelašvilille mahdollisuuden ja hän otti pelaavan maalivahdin roolin. Runkosarjassa Gelašvili oli koko liigan paras maalivahti voitoilla mitattuna. Kaudeksi 2010–2011 hän siirtyi Metallurg Magnitogorskiin.
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. Alkuperäinen artikkeli: ru:Гелашвили, Георгий Какоевич
