Delitzschin isä oli hebraisti ja teologi, Erlangenissa ja Leipzigissa professorina toiminut Franz Delitzsch. Friedrich Delitzsch opiskeli aluksi vertailevaa kielitiedettä, mutta siirtyi 1873 Eberhard Schraderin johdolla assyriologian alalle. Hän valmistui 1874 Leipzigissa ja toimi siellä ensin ylimääräisenä professorina ja vuodesta 1885 vakinaisena professorina. 1893 hän siirtyi Breslauhun ylimääräiseksi professoriksi, mikä virka vakinaistettiin vielä samana vuonna. 1899 hän aloitti opettajansa Schraderin jälkeen Berliinissä professorina. Samana vuonna hän tuli johtajaksi Kuninkaallisten museoiden (Königliche Museen) Lähi-idän osastoon, missä virassa hän jatkoi vuoteen 1919.