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Grupos de puntos en tres dimensiones
Grupo poliédrico, [n,3], (*n32)
Simetría involutiva C_s, (*) [ ] =	Simetría cíclica C_nv, (*nn) [n] =	Simetría diédrica D_nh, (*n22) [n,2] =
Simetría tetraédrica T_d, (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica O_h, (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I_h, (*532) [5,3] =

La simetría tetraédrica^[1] (también denominada simetría tetraedral o simetría del tetraedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 12 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un orden de simetría de 24, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un tetraedro regular.

El grupo de todas las simetrías del tetraedro (que no necesariamente preservan la orientación) es isomorfo al grupo S₄, el grupo simétrico de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una simetría de este tipo para cada permutación de los vértices del tetraedro. El conjunto de simetrías que conservan la orientación forma un grupo denominado subgrupo alternante A₄ de S₄.

Detalles

Tetraedro regular, un ejemplo de un sólido con simetría tetraédrica completa

La simetría quiral y completa (o simetría tetraédrica aquiral y simetría piritoédrica) son simetrías de puntos discretos (o equivalentemente, simetrías en la esfera). Están entre los grupos de puntos cristalográficos del sistema cristalino cúbico.

Visto en proyección estereográfica, los bordes de tetraquishexaedro forman 6 círculos (o líneas radiales centrales) en el plano. Cada uno de estos 6 círculos representa una línea especular en simetría tetraédrica. La intersección de estos círculos se encuentra en los puntos de giro de orden 2 y 3.

Ortogonal	Proyecciones estereográficas
Ortogonal	Cuádruple	Triple	Doble
Simetría tetraédrica quiral, T, (332), [3,3]⁺= [1⁺,4,3⁺], =

Simetría piritoédrica, T_h, (3*2), [4,3⁺],

Simetría tetraédrica aquiral, T_d, (*332), [3,3]= [1⁺4,3], =

Ejes de giro
C₃	C₃	C₂
2	2	3

Simetría tetraédrica quiral

El grupo de rotación tetraédrico T con dominio fundamental; para el triaquistetraedro, véase abajo, este último es una cara completa.	Un tetraedro se puede colocar en 12 posiciones distintas empleando tan solo movimientos de rotación. Estos se ilustran arriba en el formato grafo cíclico, junto con los movimientos de rotación respecto a las aristas a 180° (flechas azules) y a los vértices a 120° (flechas rojizas) que permiten permutar el tetraedro a través de esas posiciones.	En el tetraquishexaedro una cara completa es un dominio fundamental. Se pueden obtener otros sólidos con la misma simetría ajustando la orientación de las caras, por ejemplo, aplanando subconjuntos seleccionados de caras para combinar cada subconjunto en una sola cara, o reemplazar cada cara por varias caras o una superficie curva.

T', 332, [3,3]⁺, o 23 son distintas notaciones para denominar a la simetría quiral de orden 12 o simetría tetraédrica rotacional. Hay tres ejes de rotación ortogonales dobles, como la simetría diédrica quiral D₂ o 222, además de cuatro ejes de simetría triples, centrados entre las tres direcciones ortogonales. Este grupo es isomorfo a A₄, el grupo alternante de 4 elementos; de hecho es el grupo de paridades de una permutación de los cuatro ejes de simetría triple: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Las clases de conjugación de T son:

Identidad
4 × rotación de 120° en el sentido de las agujas del reloj (visto desde un vértice): (234), (143), (412), (321)
4 × rotación de 120° en sentido contrario a las agujas del reloj (ídem)
3 × rotación de 180°

Las rotaciones de 180°, junto con la identidad, forman un subgrupo normal de tipo Dih₂, con grupo cociente de tipo Z₃. Los tres elementos de este último son la identidad, la "rotación en el sentido de las agujas del reloj" y la "rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj", correspondientes a permutaciones de los tres ejes ortogonales de doble simetría, conservando la orientación.

A₄ es el grupo más pequeño que demuestra que lo contrario del teorema de Lagrange no es cierto en general: dado un grupo finito G y un divisor d de |G|, no necesariamente existe un subgrupo de G con orden d: el grupo G= A₄ no tiene subgrupo de orden 6. Aunque es una propiedad para el grupo abstracto en general, es claro del grupo de isometría de simetría tetraédrica quiral: debido a la quiralidad del subgrupo tendría que ser C₆ o D₃, pero ninguna se aplica.

Subgrupos de simetría tetraédrica quiral

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Generadores	Estructura	Orden	Índice
T	[3,3]⁺	=	332	23	2	A₄	12	1
D₂	[2,2]⁺	=	222	222	3	D₄	4	3
C₃	[3]⁺		33	3	1	Z₃	3	4
C₂	[2]⁺		22	2	1	Z₂	2	6
C₁	[ ]⁺		11	1	1	Z₁	1	12

Simetría tetraédrica aquiral

T_d, *332, [3,3] o 43m son distintas notaciones usadas para denominar a la simetría aquiral de oreden 24 o simetría tetraédrica completa, también conocida como el grupo triangular (2,3,3). Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, pero con seis planos de simetría especular, cada uno a través de dos ejes de triple simetría. Los ejes dobles ahora son ejes S₄ (4). T_d y O son isomorfos como grupos abstractos: ambos corresponden a S₄, el grupo simétrico de 4 objetos. T_d es la unión de T y el conjunto obtenido al combinar cada elemento de O \ T con la inversión. Véanse también las isometrías del tetraedro regular.

Las clases de conjugación de T_d son:

Identidad
8 × rotación de 120° (C₃)
3 × rotación de 180° (C₂)
6 × reflexión en un plano a través de dos ejes de rotación (C_s)
6 × rotorreflexión de 90° (S₄)

Subgrupos de simetría tetraédrica aquiral

Schoe.	Coxeter	Orb.	H-M	Generadores	Etructura	Orden	Índice
T_d	[3,3]	*332	43m	3	S₄	24	1
C_3v	[3]	*33	3m	2	D₆=S₃	6	4
C_2v	[2]	*22	mm2	2	D₄	4	6
C_s	[ ]	*	2 or m	1	Z₂= D₂	2	12
D_2d	[2⁺,4]	2*2	42m	2	D₈	8	3
S₄	[2⁺,4⁺]	2×	4	1	Z₄	4	6
T	[3,3]⁺	332	23	2	A₄	12	2
D₂	[2,2]⁺	222	222	2	D₄	4	6
C₃	[3]⁺	33	3	1	Z₃= A₃	3	8
C₂	[2]⁺	22	2	1	Z₂	2	12
C₁	[ ]⁺	11	1	1	Z₁	1	24

Simetría piritoédrica

T_h, 3*2, [4,3⁺] o m3, son distintas notaciones para mencionar a la simetría piritoédrica de orden 24. Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, con planos de simetría especular a través de dos de las direcciones ortogonales. Los ejes de triple simetría ahora son ejes S₆ (3), y hay una simetría de inversión central. T_h es isomorfo a T × Z₂: cada elemento de T_h es un elemento de T o uno combinado con la inversión. Aparte de estos dos subgrupos normales, existe también un subgrupo normal D_2h (el de un cuboide), de tipo Dih₂ × Z₂= Z₂ × Z₂ × Z₂. Es el producto directo del subgrupo normal de T (véase arriba) con C_i. El grupo cociente es el mismo que el anterior: de tipo Z₃. Los tres elementos de este último son la identidad, la "rotación en el sentido de las agujas del reloj" y la "rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj", correspondientes a permutaciones de los tres ejes ortogonales de doble simetría, conservando la orientación.

Es la simetría de un cubo en cada cara con un segmento rectilíneo que divide la cara en dos rectángulos iguales, de modo que los segmentos de línea de las caras adyacentes no se encuentran en el borde. Las simetrías corresponden a las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las mismas combinadas con inversión. También es la simetría de un dodecaedro, que es extremadamente similar al cubo descrito, con cada rectángulo reemplazado por un pentágono con un eje de simetría y 4 lados iguales y 1 lado diferente (el correspondiente al segmento de línea que divide la cara del cubo) ; es decir, las caras del cubo sobresalen en la línea divisoria y se vuelven más estrechas allí. Es un subgrupo del grupo de simetría icosaédrica completo (como grupo de isometría, no solo como grupo abstracto), con 4 de los 10 ejes de triple simetría.

Las clases conjugadas de T_h incluyen las de T, con las dos clases de 4 combinadas y cada una con inversión:

Identidad
8 × rotación de 120° (C₃)
3 × rotación de 180° (C₂)
Inversión (S₂)
8 × reflexión del rotor en 60° (S₆)
3 × reflexión en un plano (C_s)

Subgrupos de simetría piritoédrica

Schoe.	Coxeter	Orb.	H-M	Generadores	Etructura	Orden	Índice
T_h	[3⁺,4]	3*2	m3	2	A₄×2	24	1
D_2h	[2,2]	*222	mmm	3	D₄×D₂	8	3
C_2v	[2]	*22	mm2	2	D₄	4	6
C_s	[ ]	*	2 or m	1	D₂	2	12
C_2h	[2⁺,2]	2*	2/m	2	Z₂×D₂	4	6
S₂	[2⁺,2⁺]	×	1	1	Z₂	2	12
T	[3,3]⁺	332	23	2	A₄	12	2
D₃	[2,3]⁺	322	3	2	D₆	6	4
D₂	[2,2]⁺	222	222	3	D₈	4	6
C₃	[3]⁺	33	3	1	Z₃	3	8
C₂	[2]⁺	22	2	1	Z₂	2	12
C₁	[ ]⁺	11	1	1	Z₁	1	24

Sólidos con simetría tetraédrica quiral

El icosaedro coloreado como un tetraedro romo tiene simetría quiral.

Sólidos con simetría tetraédrica completa

Clase	Nombre	Caras	Aristas	Vértices
Sólidos platónicos	tetraedro	4	6	4
Sólidos arquimedianos	tetraedro truncado	8	18	12
Sólidos de Catalan	triaquistetraedro	12	18	8
Casi sólido de Johnson	Triaquis tetraedro truncado	16	42	28
Casi sólido de Johnson	Dodecaedro tetrado	28	54	28
Poliedro uniforme estrellado	Tetrahemihexaedro	7	12	6

Véase también

Referencias

↑ Philip H. Butler (2012). Point Group Symmetry Applications: Methods and Tables. Springer Science & Business Media. pp. 205 de 576. ISBN 9781461331414. Consultado el 22 de agosto de 2022.

Bibliografía

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups