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Ejemplos de notación orbifold

Un copo de nieve perfecto puede tener simetría de rotación séxtuple, que se anota como *6•

Un pentágono regular tiene simetría *5•, pero la imagen completa con flechas se define como 5•.

La bandera de Hong Kong tiene una simetría de rotación quíntuple, 5•.

En geometría, la notación orbifold (o signatura orbifold) es un sistema, inventado por el matemático William Thurston y promovido por John Conway, ideado para representar tipos de grupos de simetría en espacios bidimensionales de curvatura constante. La ventaja de la notación es que describe estos grupos de una manera que indica muchas de sus propiedades. En particular, sigue el criterio de William Thurston al describir el orbifold obtenido al tomar el cociente del espacio euclídeo por el grupo en consideración.

Los grupos representables en esta notación incluyen los grupos de puntos en la esfera ( $S^{2}$ ), los frisos y el grupo del papel pintado en el espacio bidimensional ( $E^{2}$ ) y sus análogos en el plano hiperbólico ( $H^{2}$ ).

Definición de la notación

Los siguientes tipos de transformación euclídea pueden darse en un grupo descrito por la notación orbifold:

Reflexión a través de una línea (o plano)
Traslación por un vector
Rotación de orden finito alrededor de un punto
Rotación infinita alrededor de una línea en el espacio tridimensional
Deslizamiento-reflexión, es decir, reflexión seguida de traslación

Se supone que todas las traslaciones posibles forman un subgrupo discreto de las simetrías de grupo que se describen.

Cada grupo se denota en notación orbifold mediante una cadena finita formada por los siguientes símbolos:

Los números enteros positivos $1,2,3,\dots$
El símbolo infinito, $\infty$
El asterisco, *
El símbolo o (un círculo sólido en documentos más antiguos), que se denomina maravilla ("wonder") y también asa porque topológicamente representa una superficie cerrada análoga a un toro (con un asa). Los patrones se repiten según dos traslaciones.
El símbolo $\times$ (un círculo abierto en documentos más antiguos), que se denomina milagro ("miracle") y representa una banda de Möbius, donde topológicamente un patrón se repite como una imagen especular sin cruzar una línea especular.

Una cadena escrita en letra negrita representa un grupo de simetrías del espacio tridimensional euclídeo. Una cadena que no está escrita en negrita representa un grupo de simetrías del plano euclídeo, que se supone que contiene dos traslaciones independientes.

Cada símbolo corresponde a una transformación distinta:

Un entero n a la izquierda de un asterisco indica un movimiento de rotación de orden n alrededor de un punto de giro.
Un número entero n a la derecha de un asterisco indica una transformación de orden 2n que gira alrededor de un punto caleidoscópico y se refleja a través de una línea (o plano).
Un $\times$ indica un reflejo respecto a un plano.
El símbolo $\infty$ indica simetría rotacional infinita alrededor de una línea. Solo puede ocurrir para grupos en negrita. Por abuso de lenguaje, se suele decir que tal grupo es un subgrupo de simetrías del plano euclídeo con una sola traslación independiente. Los frisos se generan de esta manera.
El símbolo excepcional o indica que existen precisamente dos traslaciones linealmente independientes.

Orbifolds buenos

Un símbolo orbifold se denomina bueno si no es uno de los siguientes: p, pq, *p, *pq, para p, q ≥ 2 y p ≠ q.

Quiralidad y aquiralidad

Un objeto es quiral si su grupo de simetría no contiene reflexiones; de lo contrario se denomina aquiral. El orbifold correspondiente es orientable en el caso quiral y no orientable en el caso contrario.

La característica de Euler y el orden

La característica de Euler de un orbifold se puede leer a partir de su símbolo de Conway, de la siguiente manera. Cada característica tiene un valor:

n sin o antes de un asterisco cuenta como ${\frac {n-1}{n}}$
n después de un asterisco cuenta como ${\frac {n-1}{2n}}$
Un asterisco y $\times$ cuentan como 1
o cuenta como 2.

Restar la suma de estos valores de 2 da la característica de Euler.

Si la suma de los valores de las características es 2, el orden es infinito, es decir, la notación representa un grupo de papel pintado o un grupo de frisos. De hecho, el "Teorema Mágico" de Conway indica que los 17 grupos del papel pintado son exactamente aquellos con la suma de los valores de las características igual a 2. De lo contrario, el orden es 2 dividido por la característica de Euler.

Grupos isomorfos

Los siguientes grupos son isomorfos:

1* y *11
22 y 221
*22 y *221
2* y 2*1.

Esto se debe a que la rotación de 1 vez es la rotación "vacía".

Grupos bidimensionales

La simetría de un objeto bidimensional sin simetría de traslación se puede describir mediante el tipo de simetría 3D, agregando una tercera dimensión al objeto que no altera su simetría plana. Por ejemplo, para una imagen 2D se puede considerar una caja de cartón con esa imagen mostrada en uno de sus lados; la forma del soporte debe ser tal que no altere la simetría, o puede imaginarse que es infinita. Así, se tiene n• y *n•. El círculo negro (•) se agrega en grupos de una y dos dimensiones para implicar la existencia de un punto fijo. En tres dimensiones, estos grupos existen en un orbifold digonal de multiplicidad n y se representan como nn y *nn.

De manera similar, una imagen unidimensional se puede dibujar horizontalmente en una pieza de cartón, con la previsión de evitar una simetría adicional con respecto a la línea de la imagen, por ejemplo dibujando una barra horizontal debajo de la imagen. Así, los grupos de simetría en una dimensión discretos son *•, *1•, ∞• y *∞•.

Otra forma de construir un objeto 3D a partir de un objeto 1D o 2D para describir la simetría es tomar el producto cartesiano del objeto y por un objeto asimétrico 2D o 1D, respectivamente.

Tablas de correspondencia

Esfera

Dominios fundamentales de los grupos de puntos 3D reflexivos
(*11), C_1v= C_s	(*22), C_2v	(*33), C_3v	(*44), C_4v	(*55), C_5v	(*66), C_6v
Orden 2	Orden 4	Orden 6	Orden 8	Orden 10	Orden 12
(*221), D_1h= C_2v	(*222), D_2h	(*223), D_3h	(*224), D_4h	(*225), D_5h	(*226), D_6h
Orden 4	Orden 8	Orden 12	Orden 16	Orden 20	Orden 24
(*332), T_d		(*432), O_h		(*532), I_h
Orden 24		Orden 48		Orden 120

Véase también: Anexo:Grupos de simetría esférica

Grupos de simetría esférica^[1]
Signatura orbifold	Coxeter	Schönflies	Hermann-Mauguin	Orden
Grupos poliédricos
*532	[3,5]	I_h	53m	120
532	[3,5]⁺	I	532	60
*432	[3,4]	O_h	m3m	48
432	[3,4]⁺	O	432	24
*332	[3,3]	T_d	43m	24
3*2	[3⁺,4]	T_h	m3	24
332	[3,3]⁺	T	23	12
Grupos diédrico y cíclicos: n= 3, 4, 5 ...
*22n	[2,n]	D_nh	n/mmm o 2nm²	4n
2*n	[2⁺,2n]	D_nd	2n2m o nm	4n
22n	[2,n]⁺	D_n	n2	2n
*nn	[n]	C_nv	nm	2n
n*	[n⁺,2]	C_nh	n/m o 2n	2n
n×	[2⁺,2n⁺]	S_2n	2n o n	2n
nn	[n]⁺	C_n	n	n
Casos especiales
*222	[2,2]	D_2h	2/mmm o 22m²	8
2*2	[2⁺,4]	D_2d	222m o 2m	8
222	[2,2]⁺	D₂	22	4
*22	[2]	C_2v	2m	4
2*	[2⁺,2]	C_2h	2/m o 22	4
2×	[2⁺,4⁺]	S₄	22 o 2	4
22	[2]⁺	C₂	2	2
*22	[1,2]	D_1h= C_2v	1/mmm o 21m²	4
2*	[2⁺,2]	D_1d= C_2h	212m o 1m	4
22	[1,2]⁺	D₁= C₂	12	2
*1	[ ]	C_1v= C_s	1m	2
1*	[2,1⁺]	C_1h= C_s	1/m o 21	2
1×	[2⁺,2⁺]	S₂= C_i	21 o 1	2
1	[ ]⁺	C₁	1	1

Plano euclídeo

Véase también: Anexo:Grupos de simetría del plano

Grupos de frisos

Grupo de los frisos
IUC	Cox.	Schön.^*	Diagrama,^§ orbifold	Ejemplos y apodos de Conway^[2]	Descripción
p1	[∞]⁺	C_∞ Z_∞	∞∞	F F F F F F F F hop	(T) Traslaciones solo: Este grupo se genera individualmente, mediante una traslación por la distancia más pequeña sobre la cual el patrón es periódico.
p11g	[∞⁺,2⁺]	S_∞ Z_∞	∞×	Γ L Γ L Γ L Γ L step	(TG) Reflexiones deslizadas y Traslaciones: Este grupo se genera individualmente, mediante una reflexión deslizada, y las traslaciones se obtienen combinando dos reflexiones deslizadas.
p1m1	[∞]	C_∞v Dih_∞	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ sidle	(TV) Líneas Verticales de reflexión y Traslaciones: El grupo es el mismo que el grupo no trivial en el caso unidimensional; se genera por una traslación y una reflexión respecto al eje vertical.
p2	[∞,2]⁺	D_∞ Dih_∞	22∞	S S S S S S S S spinning hop	(TR) Traslaciones y Rotaciones de 180°: El grupo se genera mediante una traslación y una rotación de 180°.
p2mg	[∞,2⁺]	D_∞d Dih_∞	2*∞	V Λ V Λ V Λ V Λ spinning sidle	(TRVG) Líneas de reflexión Verticales, Reflexiones con deslizamiento, Traslaciones y Rotaciones de 180°: Las traslaciones aquí surgen de las reflexiones de deslizamiento, por lo que este grupo es generado por una reflexión de deslizamiento y una rotación o una reflexión vertical.
p11m	[∞⁺,2]	C_∞h Z_∞×Dih₁	∞*	B B B B B B B B jump	(THG) Traslaciones, reflexiones Horizontales, reflexiones con Deslizamiento: Este grupo es generado por una traslación y la reflexión en el eje horizontal. La reflexión de deslizamiento aquí surge como la composición de la traslación y la reflexión horizontal.
p2mm	[∞,2]	D_∞h Dih_∞×Dih₁	*22∞	H H H H H H H H spinning jump	(TRHVG) Líneas de reflexión Horizontales y Verticales, Traslaciones y Rotaciones de 180°: Este grupo requiere tres generadores, con un conjunto generador que consiste en una traslación, la reflexión en el eje horizontal y una reflexión en el eje vertical.

^*La notación de grupo de puntos de Schönflies se extiende aquí como casos infinitos de las simetrías de puntos diédricos equivalentes.

^§El diagrama muestra un dominio fundamental en amarillo, con líneas de reflexión en azul, líneas de reflexión de deslizamiento en verde punteado, normales de traslación en rojo y puntos de giro dobles como pequeños cuadrados verdes.

Grupos del papel pintado

Dominios fundamentales de los grupos reflexivos euclídeos
(*442), p4m	(4*2), p4g

(*333), p3m	(632), p6

Los 17 grupos del papel pintado^[1]
Signatura Orbifold	Coxeter	Hermann- Mauguin	Speiser Niggli	Polya Guggenhein	Fejes Toth Cadwell
*632	[6,3]	p6m	C^(I)_6v	D₆	W¹₆
632	[6,3]⁺	p6	C^(I)₆	C₆	W₆
*442	[4,4]	p4m	C^(I)₄	D^*₄	W¹₄
4*2	[4⁺,4]	p4g	C^II_4v	D^o₄	W²₄
442	[4,4]⁺	p4	C^(I)₄	C₄	W₄
*333	[3^[3]]	p3m1	C^II_3v	D^*₃	W¹₃
3*3	[3⁺,6]	p31m	C^I_3v	D^o₃	W²₃
333	[3^[3]]⁺	p3	C^I₃	C₃	W₃
*2222	[∞,2,∞]	pmm	C^I_2v	D₂kkkk	W²₂
2*22	[∞,2⁺,∞]	cmm	C^IV_2v	D₂kgkg	W¹₂
22*	[(∞,2)⁺,∞]	pmg	C^III_2v	D₂kkgg	W³₂
22×	[∞⁺,2⁺,∞⁺]	pgg	C^II_2v	D₂gggg	W⁴₂
2222	[∞,2,∞]⁺	p2	C^(I)₂	C₂	W₂
**	[∞⁺,2,∞]	pm	C^I_s	D₁kk	W²₁
*×	[∞⁺,2⁺,∞]	cm	C^III_s	D₁kg	W¹₁
××	[∞⁺,(2,∞)⁺]	pg	C^II₂	D₁gg	W³₁
o	[∞⁺,2,∞⁺]	p1	C^(I)₁	C₁	W₁

Plano hiperbólico

Discos de Poincaré de los dominios fundamentales triangulares
Ejemplo de triángulos rectángulos (*2pq)
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
Ejemplo de triángulos generales (*pqr)
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*6³	*∞³
Ejemplo de polígonos mayores (*pqrs...)
*2223	*(23)²	*(24)²	*3⁴	*4⁴
*2⁵	*2⁶	*2⁷	*2⁸
*222∞	*(2∞)²	*∞⁴	*2^∞	*∞^∞

Unos primeros grupos hiperbólicos, ordenados por su característica de Euler son:

Grupos de simetría hiperbólicos^[3]
−1/χ	Orbifold	Coxeter
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3]⁺
40	*245	[5,4]
36–26.4	239, 2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	2 3 12, 246, 334, 34, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3⁺,8], [8,3]⁺
22.3–21	2 3 13, 2 3 14	[13,3], [14,3]
20	2 3 15, 255, 5*2, 245	[15,3], [5,5], [5⁺,4], [5,4]⁺
19.2	*2 3 16	[16,3]
18²⁄₃	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3], [9,3]⁺
17.5–16.2	2 3 19, 2 3 20, 2 3 21, 2 3 22, *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	2 3 24, 248	[24,3], [8,4]
15	2 3 30, 256, 335, 35, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3⁺,10], [10,3]⁺
14²⁄₅–13¹⁄₃	2 3 36 ... 2 3 70, 249, 2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13¹⁄₅	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3]⁺
12⁸⁄₁₁	2 3 105, 257	[105,3], [7,5]
12⁴⁄₇	2 3 132, 2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	23∞, 2 4 12, 266, 62, 336, 36, 344, 43, 2223, 223, 2 3 12, 246, 334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6⁺,4], [(6,3,3)], [3⁺,12], [(4,4,3)], [4⁺,6], [∞,3,∞], [12,3]⁺, [6,4]⁺ [(4,3,3)]⁺
...

Véase también

Mutación de orbifolds
Notación fibrifold: una extensión de la notación orbifold para el grupo espacial 3d

Referencias

↑ ^a ^b Symmetries of Things, Appendix A, page 416
↑ Frieze Patterns Mathematician John Conway created names that relate to footsteps for each of the frieze groups.
↑ Symmetries of Things, Chapter 18, More on Hyperbolic groups, Enumerating hyperbolic groups, p239

Bibliografía

John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Orbifolds and Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001.
J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002.
J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
Hughes, Sam (2019), Cohomology of Fuchsian Groups and Non-Euclidean Crystallographic Groups, Bibcode:2019arXiv191000519H, arXiv:1910.00519 .

Enlaces externos

A field guide to the orbifolds (Notas de la clase en edu/docs/doyle/mpls/handouts/handouts.html "Geometry and the Imagination" en Minneapolis, con John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman y Bill Thurston, del 17 al 28 de junio de 1991. Véase también PDF, 2006)
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