Distribución logística
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \mu \,}$ localización (real) ${\displaystyle s>0\,}$ escala (real)
Dominio	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!}$
Media	${\displaystyle \mu \,}$
Mediana	${\displaystyle \mu \,}$
Moda	${\displaystyle \mu \,}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle 0\,}$
Curtosis	${\displaystyle 6/5\,}$
Entropía	${\displaystyle \ln(s)+2\,}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}$ for ${\displaystyle |s\,t|<1\!}$, Beta function
Función característica	${\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,}$ for ${\displaystyle |ist|<1\,}$
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En la teoría de la probabilidad y estadística, la distribución logística es una distribución de probabilidad continua cuya función de distribución es la función logística, que aparece en el contexto de la regresión logística y determinados tipos de redes neuronales. Es similar a la distribución normal en forma pero tiene colas más pesadas (mayor curtosis).

Sean ${\displaystyle X}$ una variable aleatoria continua, ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle s>0}$, si ${\displaystyle X}$ tiene una distribución logística con parámetros ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle s}$ entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}$.

Su función de densidad es:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x;\mu ,s)&={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{4s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)\end{aligned}}}$

Nótese que esta función puede expresarse en términos del cuadrado de la función secante hiperbólica, por lo que en ocasiones puede referirse a esta distribución como la distribución secante hiperbólica.

En particular, cuando ${\displaystyle \mu =0}$ y ${\displaystyle s=1}$ entonces la función de densidad se reduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x}{2}}\right)\end{aligned}}}$

y en tal caso decimos que se trata de la distribución logística estándar.

La distribución logística recibe su nombre por su función de distribución, que pertenece a la familia de las funciones logísticas. La función de distribución de la distribución logística también es una versión escalada de la tangente hiperbólica.

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x;\mu ,s)&={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{aligned}}}$

Si se realiza la sustitución ${\displaystyle \sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3}$, la función de densidad queda de la forma:

${\displaystyle g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

La inversa de la función de distribución (función cuantil) de la distribución logística es una generalización de la función logit, su derivada es llamada la función de densidad cuantil y están definidas por

${\displaystyle {\begin{aligned}&F^{-1}(p;\mu ,s)=\mu +s\,\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)\\&{\frac {dF^{-1}(p;s)}{dp}}={\frac {s}{p(1-p)}}\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}$ entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ satisface algunas propiedades:

La media de ${\displaystyle X}$ es ${\displaystyle \mu }$, esto es,

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$

para demostrar este resultado se parte de la definición de esperanza

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\;dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)dx\end{aligned}}}$

haciendo el cambio de variable

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {(x-\mu )}{2s}}\\du&={\frac {1}{2s}}dx\end{aligned}}}$

obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2su+\mu }{2}}\operatorname {sech} ^{2}(u)du\\&=s\int _{-\infty }^{\infty }u\operatorname {sech} ^{2}(u)du+{\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} ^{2}(u)du\end{aligned}}}$

Nótese que la primera integral vale cero, esto es

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u\operatorname {sech} ^{2}\left(u\right)du=0}$

pues se está integrando una función impar sobre un intervalo simétrico por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\left(u\right)du\\&={\frac {\mu }{2}}\,2\\&=\mu \end{aligned}}}$

La varianza de ${\displaystyle X}$ es ${\displaystyle \pi ^{2}s^{2}/3}$, esto es,

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\pi ^{2}s^{2}}{3}}}$

El ${\displaystyle n}$-ésimo momento central puede ser expresado en términos de la función cuantil:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}dF(x)\\&=\int _{0}^{1}\left(F^{-1}(p)-\mu \right)^{n}dp\\&=s^{n}\int _{0}^{1}\ln ^{n}\!\left({\frac {p}{1-p}}\right)dp.\end{aligned}}}$

Esta integral es conocida^[1]​ y puede expresarse en términos de los números de Bernouilli:

${\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}$

La distribución logística ha sido usada extensamente en áreas como:

• Biología: para describir cómo se comportan las especies en entornos competitivos^[2]​
• Epidemiología - para describir la propagación de epidemias^[3]​
• Psicología - para describir el proceso de aprendizaje^[4]​
• Tecnología - para describir cómo las tecnologías se popularizan y compiten entre sí^[5]​
• Marketing - para estudiar la difusión de nuevos productos^[6]​
• Energía - para estudiar la difusión y sustitución de unas fuentes de energía primarias por otras^[7]​

El cálculo del elo en ajedrez utiliza actualmente la distribución logística en lugar de la normal con la que fue diseñado originalmente.

• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}$ entonces ${\displaystyle kX+\ell \sim \operatorname {Logistica} (k\mu +\ell ,ks)}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)}$ entonces ${\displaystyle \mu +s[\ln(X)-\ln(1-X)]\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exponencial} (1)}$ entonces ${\displaystyle \mu +s\ln(e^{X}-1)\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}$.
• Si ${\displaystyle X,Y\sim \operatorname {Exponencial} (1)}$ entonces ${\displaystyle \mu -s\ln \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}$.
• Si log(X) sigue la distribución logística, entonces X sigue la distribución log-logística y X - a la distribución log-logística desplazada.

En la hidrología se presume que precipitaciones y descagas de ríos de larga duración (por ejemplo mensuales o anuales) siguen una distribución normal de acuerdo al teorema del límite central. ^[9]​

Sin embargo esta distribución require una aproximación numérica para calcular las probabilidades. Ya que la distribución logística, que se soluciona analíticamente, es semejante a la normal, esta se deja utilizar en su lugar.

La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución logística a datos de lluvia mensual de octubre y muestra los intervalos de confianza basados en la distribución binomial.

• Distribución logística generalizada
• Regresión logística
• Función sigmoidal

• N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8. 
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. edición). ISBN 0-471-58494-0.