Matematikaj funkcioj
Aroj: fonta aro, argumentaro, bildaro, cela aro (suma klarigo) • malbildo
Fundamentaj funkcioj
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca
Specialaj funkcioj
erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ
Ecoj:
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco

Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu punkto estas la angula koeficiento de la grafikaĵo de la funkcio ĉe tiu punkto.

En analitiko la derivaĵo de reela funkcio de reela variablo ${\displaystyle f(x)}$ en la punkto ${\displaystyle x_{0}}$ estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

Pli precize, funkcio ${\displaystyle f(x)}$difinita en ĉirkaŭaĵo ${\displaystyle x_{0}\quad }$ estas derivebla en la punkto ${\displaystyle x_{0}}$ se ekzistas kaj estas finia la limeso:

${\displaystyle {\mathop {\lim _{h\to 0}} {{f\left({x_{0}+h}\right)-f\left(x_{0}\right)} \over h}}}$

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto ${\displaystyle x_{0}}$. Se funkcio ${\displaystyle f(x)}$ estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo ${\displaystyle (a,b)}$, tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en ${\displaystyle (a,b)\quad }$.

Ekzistas pluraj malsamaj simbolaj notacioj por derivaĵo de funkcio ${\displaystyle f}$ en punkto ${\displaystyle x_{0}}$:

• Laŭ la notacio de Lagrange

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0}).}$

• Laŭ la notacio de Cauchy

${\displaystyle \operatorname {D} \left[{f}({x_{0}})\right].}$

• Laŭ la notacio de Leibniz:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x_{0})}{\mathrm {d} x}}.}$

• La historie unua notacio estas ankoraŭ uzata en fiziko:

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)_{(x_{0})}.}$

• Laŭ la notacio de Newton, derivaĵo rilate al la tempo t:

${\displaystyle {\dot {f}}(t_{o}).}$

Nomiĝas maldekstra derivaĵo de f ĉe la punkto x₀:

${\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{h\to 0^{-}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}}$

Nomiĝas dekstra derivaĵo de f ĉe la punkto x₀:

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{h\to 0^{+}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}}$

Funkcio estas derivebla ĉe x₀, se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.

Estu:

• ${\displaystyle f(x)\quad }$ derivebla funkcio, do kontinua en ${\displaystyle x_{0}\quad }$, kie
• ${\displaystyle x_{0}\quad }$ estas interna punkto al argumentaro de la funkcio f, kaj
• ${\displaystyle x_{0}\quad }$ estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio f,

tiam la derivaĵo de la funkcio en ${\displaystyle x_{0}}$ estas nula, tio estas ${\displaystyle f'(x_{0})=0\quad }$.

Estu ${\displaystyle f(x)}$ kontinua funkcio en ${\displaystyle [a,b]}$ kaj derivebla en ${\displaystyle (a,b)}$. Se ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, tiam ekzistas almenaŭ unu punkto ${\displaystyle x_{0}\quad }$ en la intervalo ${\displaystyle (a,b)}$, kies derivaĵo nuliĝas.

Estu ${\displaystyle f(x)}$ kontinua funkcio en ${\displaystyle [a,b]}$ kaj derivebla en ${\displaystyle (a,b)}$. Ekzistas almenaŭ unu punkto ${\displaystyle x_{0}}$ en la intervalo ${\displaystyle (a,b)}$, kies derivaĵo egalas al ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.

Estu ${\displaystyle f(x)}$ kaj ${\displaystyle g(x)}$ kontinuaj funkcioj en ${\displaystyle [a,b]}$ kaj deriveblaj en ${\displaystyle (a,b)}$ kaj ${\displaystyle g'(x)\neq 0\forall x\in (a,b)}$, tiam ekzistas almenaŭ unu punkto ${\displaystyle x_{0}}$ en ${\displaystyle (a,b)}$ tia, ke:

${\displaystyle {\frac {f'(x_{0})}{g'(x_{0})}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$

Funkcio estas konstanta en iu intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo ${\displaystyle (a,b)\quad }$.

Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange.

• Derivado
• Diferencialo
• Derivaĵo de ne entjera ordo
• Formulo de Faà di Bruno
• Malderivaĵo
• Parta derivaĵo
• Simetria derivaĵo

v • d • r Analitiko Infinitezima kalkulo Reela nombro • Vico • Limeso • Kontinua funkcio • Serio Diferenciala kalkulo Derivaĵo • Derivado • Teoremo de Rolle • Teoremo de Lagrange • Teoremo de Cauchy • Regulo de de l'Hôpital • Serio de Taylor • Diferenciebla funkcio • Gradiento • Jakobia • Hesea Integralo Malderivaĵo • Integrado • Integralo de Riemann • Nepropra integralo • Integralo de Lebesgue • Fundamenta teoremo de kalkulo • Obla, kurba kaj surfaca integralo