Levitzky's theorem

In mathematics, more specifically ring theory and the theory of nil ideals, Levitzky's theorem, named after Jacob Levitzki, states that in a right Noetherian ring, every nil one-sided ideal is necessarily nilpotent.[1][2] Levitzky's theorem is one of the many results suggesting the veracity of the Köthe conjecture, and indeed provided a solution to one of Köthe's questions as described in (Levitzki 1945). The result was originally submitted in 1939 as (Levitzki 1950), and a particularly simple proof was given in (Utumi 1963).

Proof

This is Utumi's argument as it appears in (Lam 2001, p. 164-165)

Lemma[3]

Assume that R satisfies the ascending chain condition on annihilators of the form where a is in R. Then

  1. Any nil one-sided ideal is contained in the lower nil radical Nil*(R);
  2. Every nonzero nil right ideal contains a nonzero nilpotent right ideal.
  3. Every nonzero nil left ideal contains a nonzero nilpotent left ideal.
Levitzki's Theorem [4]

Let R be a right Noetherian ring. Then every nil one-sided ideal of R is nilpotent. In this case, the upper and lower nilradicals are equal, and moreover this ideal is the largest nilpotent ideal among nilpotent right ideals and among nilpotent left ideals.

Proof: In view of the previous lemma, it is sufficient to show that the lower nilradical of R is nilpotent. Because R is right Noetherian, a maximal nilpotent ideal N exists. By maximality of N, the quotient ring R/N has no nonzero nilpotent ideals, so R/N is a semiprime ring. As a result, N contains the lower nilradical of R. Since the lower nilradical contains all nilpotent ideals, it also contains N, and so N is equal to the lower nilradical. Q.E.D.

See also

Notes

  1. ^ Herstein 1968, p. 37, Theorem 1.4.5
  2. ^ Isaacs 1993, p. 210, Theorem 14.38
  3. ^ Lam 2001, Lemma 10.29.
  4. ^ Lam 2001, Theorem 10.30.

References

  • Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, a graduate course (1st ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
  • Herstein, I.N. (1968), Noncommutative rings (1st ed.), The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X
  • Lam, T.Y. (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95183-6
  • Levitzki, J. (1950), "On multiplicative systems", Compositio Mathematica, 8: 76–80, MR 0033799.
  • Levitzki, Jakob (1945), "Solution of a problem of G. Koethe", American Journal of Mathematics, 67 (3), The Johns Hopkins University Press: 437–442, doi:10.2307/2371958, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371958, MR 0012269
  • Utumi, Yuzo (1963), "Mathematical Notes: A Theorem of Levitzki", The American Mathematical Monthly, 70 (3), Mathematical Association of America: 286, doi:10.2307/2313127, hdl:10338.dmlcz/101274, ISSN 0002-9890, JSTOR 2313127, MR 1532056

Read other articles:

Moon Knight (seri televisi)

Moon KnightGenre Laga petualangan Pahlawan super PembuatJeremy SlaterBerdasarkanMoon Knightoleh Doug MoenchDon PerlinPemeran Oscar Isaac May Calamawy Karim El Hakim F. Murray Abraham Ethan Hawke Ann Akinjirin David Ganly Khalid Abdalla Gaspard Ulliel Penata musikHesham NazihNegara asal Amerika SerikatBahasa asliInggris AmerikaJmlh. episode6ProduksiProduser eksekutif Kevin Feige Louis D'Esposito Victoria Alonso Brad Winderbaum Grant Curtis Oscar Isaac Mohamed Diab Jeremy Slater Pro...

 

مصباح بخار الزئبق

مصباح بخار الزئبق عن قرب مصباح بخار الزئبق هو مصباح تفريغ غازي يحوي فلز الزئبق في حالة مهيجة بحيث يساهم في إصدار الضوء.[1][2][3] يستخدم فلز الزئبق السائل في الإضاءة، حيث يتحول الزئبق إلى بخار الزئبق، ثم يتحول تحت تأثير درجة الحرارة وفرق الجهد من زئبق بحالته العادي�...

 

Hyuna

Ini adalah nama Korea; marganya adalah Kim. HyunaHyuna pada Juli 2018.Nama asal김현아LahirKim Hyun-ah6 Juni 1992 (umur 31)Seoul, Daerah Ibu Kota Nasional Seoul, Korea SelatanPekerjaanPenyanyiPenulis laguKarier musikGenreK-popHip-hopInstrumenVokalTahun aktif2007 (2007)–sekarangLabelJYP (2007) Cube (2009-2018) P Nation (2019–sekarang)Artis terkaitPsyWonder GirlsJYP Nation4MinuteTrouble MakerDazzling RedTriple H Nama KoreaHangul김현아 Hanja金泫雅 Alih AksaraGim Hyeon-...

Wiwilíbrücke

Bridge in Freiburg im Breisgau, GermanyWiwilíbrückeWiwilíbrücke in 1980 while still open for carsCoordinates47°59′45.77″N 7°50′23.6″E / 47.9960472°N 7.839889°E / 47.9960472; 7.839889CarriesBicicles, pedestriansLocaleFreiburg im Breisgau, GermanyOfficial nameWiwilíbrückeCharacteristicsDesignTruss BridgeMaterialIronTotal length161.8 m (530.8 ft)Width10.3 m (33.8 ft)HistoryEngineering design byMax MeckelConstruction start1885 (18...

 

Partai Demokrat (Amerika Serikat)

artikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Tidak ada alasan yang diberikan. Silakan kembangkan artikel ini semampu Anda. Merapikan artikel dapat dilakukan dengan wikifikasi atau membagi artikel ke paragraf-paragraf. Jika sudah dirapikan, silakan hapus templat ini. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Halaman ini berisi artikel tentang partai politik di Amerika Serikat. Untuk parpol di Indonesia, lihat Partai Demokrat. Partai Demokrat Democratic...

 

Timur Pradopo

Timur Pradopo Kepala Kepolisian Negara Republik Indonesia Ke-20Masa jabatan22 Oktober 2010 – 25 Oktober 2013PresidenSusilo Bambang YudhoyonoWakilJusuf Manggabarani (2010–11) Nanan Soekarna (2011–13)Oegroseno (2013) PendahuluBambang Hendarso DanuriPenggantiSutarmanKepala Badan Pemelihara Keamanan PolriMasa jabatan7 Oktober 2010 – 22 Oktober 2010 PendahuluIman HaryatnaPenggantiFajar PrihantoroKepala Kepolisian Daerah Metropolitan Jakarta Raya 28Masa jabatan8 Ju...

Tarui, Gifu

Town in Chūbu, JapanTarui 垂井町TownClockwise from top: Shigekado Takenaka's Jinya, Nangu Taisha, Tairyo Shrine, Site of Morichika Chosokabe's Jinya, Mineral Spring in Tarui, Picture of Tarui Traditional Inn in Edo Period FlagSealLocation of Tarui in Gifu PrefectureTarui Coordinates: 35°22′12.9″N 136°32′37.4″E / 35.370250°N 136.543722°E / 35.370250; 136.543722CountryJapanRegionChūbuPrefectureGifuDistrictFuwaGovernment • MayorMitsuya N...

 

Al-Qur'an

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Al-Qur'an – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR al-Qur'anالقرآن al-QurʾānInformasiAgamaIslamBahasaArab KlasikPeriode610–632 MBab atau Surah114 surah Bagian dari seriIslam Rukun Iman Ke...

 

Deutsche Allgemeine Zeitung

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Deutsche Allgemeine Zeitung – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR (December 2010) Artikel ini perlu dikembangkan dari artikel terkait di Wikipedia bahasa Jerman. (March 2012) klik [tampil] ...

Wai Assembly constituency

Constituency of the Maharashtra legislative assembly in India For other uses, see Wai. WaiConstituency No. 256 for the Maharashtra Legislative AssemblyConstituency detailsCountryIndiaRegionWestern IndiaStateMaharashtraDistrictSataraLS constituencySataraReservationNoneMember of Legislative Assembly14th Maharashtra Legislative AssemblyIncumbent Makrand Jadhav - Patil PartyNationalist Congress Party (Ajit Pawar Faction)Elected year2019 Wai Assembly constituency is an assembly constituency of the...

 

Wauwatosa

Wauwatosacity(EN) Wauwatosa, Wisconsin Wauwatosa – Veduta LocalizzazioneStato Stati Uniti Stato federato Wisconsin ConteaMilwaukee AmministrazioneSindacoJill Didier TerritorioCoordinate43°03′32″N 88°01′34″W / 43.058889°N 88.026111°W43.058889; -88.026111 (Wauwatosa)Coordinate: 43°03′32″N 88°01′34″W / 43.058889°N 88.026111°W43.058889; -88.026111 (Wauwatosa) Altitudine205 m s.l.m. Superficie21,24 km² Abitanti44&#...

 

信徒 (电视剧)

信徒Believe类型奇幻、科幻开创阿方索·卡隆主演 Johnny Sequoyah Jake McLaughlin Delroy Lindo 凯尔·麦克拉克伦 西耶娜·盖尔利 鄭智麟 Tracy Howe Arian Moayed 国家／地区美国语言英语季数1集数12每集长度43分钟制作执行制作 阿方索·卡隆 J·J·艾布拉姆斯 Mark Friedman 布赖恩·伯克 机位多镜头制作公司坏机器人制片公司华纳兄弟电视公司播出信息 首播频道全国广播公司播出日期2014年3月10日...

George Ritzer

American sociologist (born 1940) George RitzerBorn (1940-10-14) October 14, 1940 (age 83)New York City, United StatesAlma materCity College of New York (B.A. in Psychology)University of Michigan Ann Arbor (M.B.A.)Cornell University (Ph.D. in Organizational Behavior)[1]Notable workThe McDonaldization of Society (1993)Sociology: A Multiple Paradigm Science (1975, 1980)Toward an Integrated Sociological Paradigm (1981)Metatheorizing in Sociology (1991)The Blackwell Companion to ...

 

大字 (数字)

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています（詳細）。 数字の大字（だいじ）は、漢数字の一種。通常用いる単純な字形の漢数字（小字）の代わりに同じ音の別の漢字を用いるものである。 概要 壱万円日本銀行券（「壱」が大字） 弐千円日本銀行券（「弐」が大字） 漢数字には「一」「二」「三」と続く小字と、「壱」「�...

 

Dapitan City Council

Legislative body of the city of Dapitan, Philippines Dapitan City Council Sangguniang Panlungsod ng Dapitan27th City Council of DapitanTypeTypeUnicameral Term limits3 terms (9 years)LeadershipPresiding OfficerAlfredo A. Sy, APP since 30 June 2022 Presiding Officer pro temporeJezebel A. Balisado, APP since 4 July 2022 Floor LeaderClaver A. Pajaren, Nacionalista since 4 July 2022 StructureSeats12 councilors (including 2 ex officio members)1 ex officio presiding officerPolitical grou...

كرة السلة في الألعاب الأولمبية الصيفية 2012

كرة السلة في الألعاب الأولمبية الصيفية 2012معلومات عامةجزء من الألعاب الأولمبية الصيفية 2012 الرياضة كرة السلة البلد المملكة المتحدة المكان Basketball Arena (en) الإحداثيات 51°32′55″N 0°00′50″W / 51.5486°N 0.0139°W / 51.5486; -0.0139 بتاريخ 2012 تاريخ البدء 28 يوليو 2012 تاريخ الانتهاء 12 أغسطس 2012...

 

Region Hovedstaden

Hovedstaden Region Hovedstaden (terjemahan resmi Region Ibu kota Denmark) adalah region di Denmark yang didirikan pada tanggal 1 Januari 2007 sebagai bagian dari reformasi munisipalitas Denmark 2007, yang menggantikan amter lama Denmark menjadi lima region yang lebih besar. lbsPemukiman di DenmarkHovedstaden Albertslund · Allerød · Ballerup · Bornholm · Brøndby · Copenhagen · Dragør · Egedal · Fredensborg · Frederiksberg · Frederi...

 

Chinatown, Honolulu

Historic neighborhood of Honolulu, Hawaii United States historic placeChinatown Historic DistrictU.S. National Register of Historic PlacesU.S. Historic district Historic Wo Fat restaurant building (built 1938), at the corner of Hotel and MaunakeaLocationBeretania Street, Nuuanu Stream, Nuuanu Avenue, and Honolulu Harbor, Honolulu, HawaiiCoordinates21°18′44″N 157°51′46″W / 21.31222°N 157.86278°W / 21.31222; -157.86278Area36 acres (15 ha)Built1900NRHP...

جغرافيا جزر مارشال

جغرافيا جزر مارشال الحكومة البلد جزر مارشال  تعديل مصدري - تعديل   جزر المارشال، تتكون من سلسلتين أرخبيليتين تتكون من 30 جزيرة مرجانية و1152 جزيره، والتي تشكل مجموعتين متوازيتين - سلسلة «راتاك» شروق الشمس وسلسلة «راليك» غروب الشمس. وتقع جزر مارشال في شمال المحيط الهادئ و...

 

Olympiska sommarspelen 1912

Den V olympiadens spel Grenar102 grenar i 15 sporterDeltagareNationer28Aktiva2 547Män2 490Kvinnor57VärdskapLand SverigeOrtStockholmArenaStockholms OlympiastadionInvigning6 juli 1912[a]Spelen öppnades avKung Gustaf V av Sverige[1]Läste deltagarnas edEj förrän 1920Läste funktionärernas edEj förrän 1972Elden tändes avEj förrän 1936Avslutning27 juli 1912← London 1908 Antwerpen 1920 → Olympiska sommarspelen 1912, officiellt Den V olympiadens spel, var de femte moderna...