Euler operator (digital geometry)

In solid modeling and computer-aided design, the Euler operators modify the graph of connections to add or remove details of a mesh while preserving its topology. They are named by Baumgart [1] after the Euler–Poincaré characteristic. He chose a set of operators sufficient to create useful meshes, some lose information and so are not invertible.

The boundary representation for a solid object, its surface, is a polygon mesh of vertices, edges and faces. Its topology is captured by the graph of the connections between faces. A given mesh may actually contain multiple unconnected shells (or bodies); each body may be partitioned into multiple connected components each defined by their edge loop boundary. To represent a hollow object, the inside and outside surfaces are separate shells.

Let the number of vertices be V, edges be E, faces be F, components H, shells S, and let the genus be G (S and G correspond to the b0 and b2 Betti numbers respectively). Then, to denote a meaningful geometric object, the mesh must satisfy the generalized Euler–Poincaré formula 

 V – E + F = H + 2 * (S – G)

The Euler operators preserve this characteristic. The Eastman paper lists the following basic operators, and their effects on the various terms:

Name Description ΔV ΔE ΔF ΔH ΔS ΔG
MBFLV Make Body-Face-Loop-Vertex +1 +1 +1
MEV Make Edge-Vertex +1 +1
MEFL Make Edge-Face-Loop +1 +1
MEKL Make Edge, Kill Loop +1 −1
KFLEVB Kill Faces-Loops-Edges-Vertices-Body −2 −n −n −1
KFLEVMG Kill Faces-Loops-Edges-Vertices, Make Genus −2 −n −n +1

Geometry

Euler operators modify the mesh's graph creating or removing faces, edges and vertices according to simple rules while preserving the overall topology thus maintaining a valid boundary (i.e. not introducing holes). The operators themselves don't define how geometric or graphical attributes map to the new graph: e.g. position, gradient, uv texture coordinate, these will depend on the particular implementation.

See also

References

  1. ^ Baumgart, B.G^ "Winged edge polyhedron representation", Stanford Artificial Intelligence Report No. CS-320, October, 1972.
  • (see also Winged edge#External links)
  • Eastman, Charles M. and Weiler, Kevin J., "Geometric modeling using the Euler operators" (1979). Computer Science Department. Paper 1587. http://repository.cmu.edu/compsci/1587. Unfortunately this typo-ridden (OCR’d?) paper can be quite hard to read.
  • Easier-to-read reference[permanent dead link‍], from a solid-modelling course at NTU.
  • Another reference that uses a slightly different definition of terms.
  • Sven Havemann, Generative Mesh Modeling[permanent dead link‍], PhD thesis, Braunschweig University, Germany, 2005.
  • Martti Mäntylä, An Introduction to Solid Modeling, Computer Science Press, Rockville MD, 1988. ISBN 0-88175-108-1.

Read other articles:

Reseptor terhubung-protein G adhesi

Famili GPCR adhesi manusia. Anggota didefinisikan oleh struktur hibrida yang tidak biasa dengan wilayah ekstraseluler yang panjang sering mengandung protein modul yang dikenal digabungkan ke daerah transmembran tujuh rentang melalui domain GPCR-Autoproteolsis INducing (GAIN) GPCR adhesi (adhesion G protein-protein-coupled receptor) adalah kelas 33 reseptor protein manusia dengan distribusi yang luas di sel embrio dan larva, sel-sel dari saluran reproduksi, neuron, leukosit, dan berbagai tumor...

 

 

Hubungan Iran dengan Korea Utara

Hubungan Iran–Korea Utara Korea Utara Iran Kedubes Iran di Pyongyang, Korea Utara Hubungan Iran–Korea Utara (bahasa Korea: 이란-조선민주주의인민공화국 관계; Persia: روابط ایران و کره‌ی شمالی) dianggap psoitif oleh badan-badan berita resmi dari dua negara tersebut. Hubungan diplomatik terjadi setelah Revolusi Iran pada 1979 dan pendirian Republik Islam. Iran dan Korea Utara menjalin kerjasama dalam lingkup pendidikan, saintifik dan kebudayaan.&...

 

 

العلاقات الفلبينية الإسبانية

العلاقات الفلبينية الإسبانية الفلبين إسبانيا   الفلبين   إسبانيا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الفلبينية الإسبانية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين الفلبين وإسبانيا.[1][2][3][4][5] تمتد العلاقات بين الدولتين من القرن السادس عشر إلى الوقت ال...

Daftar kecamatan dan kelurahan di Kota Pontianak

Peta lokasi Kabupaten Pontianak Berikut adalah daftar kecamatan dan kelurahan di Kota Pontianak, Provinsi Kalimantan Barat, Indonesia. Kota Pontianak terdiri dari 6 kecamatan dan 29 kelurahan. Pada tahun 2017, jumlah penduduknya mencapai 655.572 jiwa dengan luas wilayah 107,80 km² dan sebaran penduduk 6.081 jiwa/km².[1][2] Daftar kecamatan dan kelurahan di Kota Pontianak, adalah sebagai berikut: Kode Kemendagri Kecamatan Jumlah Kelurahan Daftar Kelurahan 61.71.03 Pontianak B...

 

 

Microsoft Flight Simulator X

Microsoft Flight Simulator X PublikasiEU: 13 Oktober 2006NA: 17 Oktober 2006AU: 26 Oktober 2006WW: 18 Desember 2014 (Steam)Versi Service Pack 2 GenreSimulasi penerbanganBahasa Daftar Inggris 60 Karakteristik teknisPlatformWindows Modepermainan video multipemain dan Permainan video pemain tunggal Formatdistribusi digital Metode inputpapan tombol komputer Format kode Daftar 30 Format berkasDaftarFSX Aircraft Animation (en) Informasi pengembangPengembangAces Game StudioDovetail Games (Steam)Peny...

 

 

Tracy Northup

American physicist Tracy Eleanor NorthupNorthup speaks to the Quantum Internet Proposed Research Group of the Internet Engineering Task Force in 2019Born1978 (age 45–46)Alma materCalifornia Institute of Technology Harvard UniversityScientific careerInstitutionsUniversity of InnsbruckThesisCoherent control in cavity QED (2008) Tracy E. Northup (born 1978) is an American physicist who works at the Institute for Experimental Physics, University of Innsbruck, Austria. Her res...

Daftar sungai di Hong Kong

Daftar berikut memuat sungai yang ada di Hong Kong. Selain sungai, daftar berikut juga mencantumkan nullah. Lokasi Hong Kong, yang berbatasan dengan pantai, tidak berada dekat dengan sistem sungai-sungai besar di Tiongkok selatan, meskipun air di sebelah barat Hong Kong dipengaruhi oleh Sungai Mutiara. Pada daratan seluas 1.103 km², wilayah Hong Kong sebagian besar berbukit dengan lebih dari 200 pulau. Karena itu, datarannya dapat menghasilkan sungai yang relatif lebih pendek dan lebih ...

 

 

Guerre serbo-turche (1876-1878)

Guerre serbo-turche (1876-1878)parte della Grande crisi d'OrienteLe battaglie del Morava - agosto 1876Data30 giugno 1876 - 3 marzo 1878 LuogoPrincipato di Serbia Casus belliInstabilità politica ottomana;Indipendentismo serbo EsitoVittoria ottomana nella prima guerra;Vittoria serba nella seconda guerra Schieramenti Principato di Serbia Russia Impero ottomano Comandanti František Zach Đura Horvatović Mihailo Ilić Ranko Alimpić Milojko Lešjanin Michail Černjaev Abdülkerim...

 

 

ロバート・デ・ニーロ

ロバート・デ・ニーロRobert De Niro 2011年のデ・ニーロ生年月日 (1943-08-17) 1943年8月17日（80歳）出生地 アメリカ合衆国・ニューヨーク州ニューヨーク市身長 177 cm職業 俳優、映画監督、映画プロデューサージャンル 映画、テレビドラマ活動期間 1963年 -配偶者 ダイアン・アボット（1976年 - 1988年）グレイス・ハイタワー（1997年 - ）主な作品 『ミーン・ストリート』（1973年）...

Jūbako

Japanese food box Mid-19th century jūbako by Shibata Zeshin, housed at the Metropolitan Museum of Art of New York Jūbako (重箱, lit. tiered boxes) are tiered boxes used to hold and present food in Japan.[1] The boxes are often used to hold osechi, foods traditional to the Japanese New Year,[2] or to hold takeaway lunches, or bento. A sagejū (提重, lit. portable jūbako) or sagejūbako (提げ重箱), is a picnic set of jūbako in a carrier with handle.[3] There ...

 

 

Future Now Tour

Future Now TourTour yang diadakan oleh Demi Lovato dan Nick JonasAlbum terkaitConfidentLast Year Was ComplicatedTanggal awal29 Juni 2016 (2016-06-29)Tanggal akhir19 Oktober 2016 (2016-10-19)Legs3Jumlah acara43 di Amerika Utara1 di Asia3 di Amerika Latin47 totalBox office17.4M $Situs webfuturenowtour.com Demi Lovato tour chronology Demi World Tour(2014–2015) Future Now Tour(2016) Tell Me You Love Me World Tour(2018) Nick Jonas tour chronology Nick Jonas: Live in Concert(2015) Futur...

 

 

Discus throw at the World Athletics Championships

Discus throwat the World Athletics ChampionshipsThree-time men's discus throw champion Robert HartingOverviewGenderMen and womenYears heldMen: 1983 – 2015 Women: 1983 – 2015Championship recordMen71.46 m Daniel Ståhl (2023)Women71.62 m Martina Hellmann (1987)Reigning championMen Piotr Małachowski (POL)Women Denia Caballero (CUB) The discus throw at the World Championships in Athletics has been contested by both men and women since the inaugural edition in 1983. The c...

Geostrategi

Pakta Pertahanan Atlantik Utara adalah aliansi militer geostrategis yang mencakup sebagian besar Eropa dan Amerika Utara Geostrategi, turunan dari geopolitik, adalah jenis kebijakan luar negeri yang dipandu oleh faktor geografi.[1] Faktor-faktor ini melengkapi, menghambat, atau memengaruhi perencanaan politik dan militer. Layaknya semua strategi, geostrategi berusaha menyamakan cara dengan hasil[2][3][4][5][6]—dalam hal ini sumber daya suatu n...

 

 

Sher Ali Khan

Emir of Afghanistan (r. 1863–66 and 1868–79) Shir Ali Khan redirects here. For the village in Iran, see Shir Ali Khan, Iran. For the Khan of Kokand, see Shir Ali Khan (Kokand).This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Sher Ali Khan – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2021) (Lea...

 

 

Newsreel

Form of short documentary film, containing news stories For the film collective, see The Newsreel. Showdown in Vietnam, a February 8, 1965, war propaganda newsreel by Universal Newsreel, with narration by Ed Herlihy. A newsreel is a form of short documentary film, containing news stories and items of topical interest, that was prevalent between the 1910s and the mid 1970s. Typically presented in a cinema, newsreels were a source of current affairs, information, and entertainment for millions ...

Kejahatan di Jepang

Tingkat kejahatan di Jepang umumnya rendah dibandingkan dengan negara lain, peringkat dari rendah hingga sedang di sebagian besar kota besar dan kecil. Namun, masalah masih tetap ada, dan banyak kejahatan bermanifestasi dalam beberapa bentuk; terutama dalam hal kejahatan terorganisir dan pembantaian. Pada tahun 2015, Jepang memiliki salah satu tingkat pembunuhan terendah di dunia, tetapi lebih tinggi dari Singapura.[1] Menurut statistik UNODC 2016, tingkat pembunuhan yang disengaja di...

 

 

Grupp 3-element

Grupp 3-element kallas gruppen av grundämnen i periodiska systemet som omfattar följande ämnen: Skandium (Sc) Yttrium (Y) Lutetium (Lu) Lawrencium (Lr) v • rPeriodiska systemet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18  1  H He  2  Li Be B C N O F Ne  3  Na Mg Al Si P S Cl Ar  4  K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr  5  Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe  6  Cs Ba Lu Hf Ta W Re Os Ir ...

 

 

كريستوفر ريتش

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مايو 2024) هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (�...

William III of the Netherlands

King of the Netherlands from 1849 to 1890 William IIIPhotograph by Maria Hille, c. 1887King of the NetherlandsReign17 March 1849 – 23 November 1890Inauguration12 May 1849PredecessorWilliam IISuccessorWilhelminaGrand Duke of LuxembourgReign17 March 1849 – 23 November 1890PredecessorWilliam IISuccessorAdolpheDuke of LimburgReign17 March 1849 – 23 August 1866PredecessorWilliam IIBorn(1817-02-19)19 February 1817Palace of the Nation, Brussels, United Kingdom of the NetherlandsDied23 November...

 

 

Interrogation (2016 film)

2016 American filmInterrogationDirected byStephen ReynoldsScreenplay by Adam Rodin Michael Finch Produced byMichael J. LuisiStarring Adam Edge Copeland C.J. Lana Perry Edited byPaul HarbMusic byNathan WhiteheadProductioncompanyWWE StudiosDistributed byLionsgateRelease date September 20, 2016 (2016-09-20) Running time93 minutesCountryUnited StatesLanguageEnglish Interrogation[1] is a 2016 American action film directed by Stephen Reynolds from a screenplay by Adam Rodin a...