Η εικασία του Λεζάντρ, που προτάθηκε από τον Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ, δηλώνει ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ ${\displaystyle n^{2}}$ και ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ για κάθε θετικος ακέραιος. ${\displaystyle n}$.^[1] Η εικασία είναι ένα από τα προβλήματα του Λαντάου (1912)^[2] σχετικά με τους πρώτους αριθμούς και ένα από τα πολλά ανοικτά προβλήματα σχετικά με την απόσταση των πρώτων αριθμών.

Αν η εικασία του Λεζάντρ είναι αληθής, η απόσταση μεταξύ οποιουδήποτε πρώτου αριθμού p και του αμέσως μεγαλύτερου πρώτου αριθμού θα είναι ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\,)}$, όπως εκφράζεται με τον συμβολισμό big O.^[α] Είναι ένα από μια οικογένεια αποτελεσμάτων και εικασιών που σχετίζονται με τις αποστάσεις των πρώτων αριθμών, δηλαδή με την απόσταση μεταξύ των πρώτων αριθμών. Άλλοι περιλαμβάνουν το αξίωμα του Μπερτράν σχετικά με την ύπαρξη ενός πρώτου αριθμού μεταξύ ${\displaystyle n}$ και ${\displaystyle 2n}$, την εικασία του Όπερμαν σχετικά με την ύπαρξη πρώτων αριθμών μεταξύ ${\displaystyle n^{2}}$, ${\displaystyle n(n+1)}$ και ${\displaystyle (n+1)^{2}}$, την εικασία του Αντρίκα και την εικασία του Μπροκάρντ για την ύπαρξη πρώτων αριθμών μεταξύ τετραγώνων διαδοχικών πρώτων αριθμών, και την εικασία του Κράμερ ότι οι αποστάσεις είναι πάντα πολύ μικρότερες, της τάξης ${\displaystyle (\log p)^{2}}$. Αν η εικασία του Κράμερ είναι αληθής, η εικασία του Λεζάντρ θα ακολουθούσε για όλα τα επαρκώς μεγάλα n. Ο Χάραλντ Κράμερ απέδειξε επίσης ότι η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ένα ασθενέστερο όριο ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$ για το μέγεθος των μεγαλύτερων πρώτων αποστάσεων.^[3]

Σύμφωνα με το θεώρημα των πρώτων αριθμών, ο αναμενόμενος αριθμός των πρώτων αριθμών μεταξύ ${\displaystyle n^{2}}$ και ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ είναι περίπου ${\displaystyle n/\ln n}$, και είναι επιπλέον γνωστό ότι για σχεδόν όλες τις αποστάσεις αυτής της μορφής ο πραγματικός αριθμός των πρώτων αριθμών ( A014085) είναι ασυμπτωτικά προς αυτόν τον αναμενόμενο αριθμό.^[4] Δεδομένου ότι ο αριθμός αυτός είναι μεγάλος για μεγάλο ${\displaystyle n}$, αυτό προσδίδει αξιοπιστία στην εικασία του Λεζάντρ.^[5]Είναι γνωστό ότι το θεώρημα των πρώτων αριθμών δίνει μια ακριβή καταμέτρηση των πρώτων αριθμών μέσα σε μικρά διαστήματα, είτε άνευ όρων ^[6] ή με βάση την υπόθεση Ρίμαν, ^[7] αλλά τα μήκη των αποστάσεων για τις οποίες αυτό έχει αποδειχθεί είναι μεγαλύτερα τις αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών τετραγώνων, πολύ μεγάλα για να αποδειχθεί η εικασία του Λεζάντρ.

Από ένα αποτέλεσμα του Άλμπερτ Ίνγκαμ προκύπτει ότι για για όλους τους αρκετά μεγάλους ${\displaystyle n}$, υπάρχει ένας πρώτος μεταξύ των διαδοχικών κύβων ${\displaystyle n^{3}}$ και ${\displaystyle (n+1)^{3}}$.^[8][9]. Ο Ντούντεκ απέδειξε ότι αυτό ισχύει για όλους τους ${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$.^[10]

Ο Ντούντεκ απέδειξε επίσης ότι για ${\displaystyle m=4.971\times 10^{9}}$ και κάθε θετικό ακέραιο ${\displaystyle n}$, υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ ${\displaystyle n^{m}}$ και ${\displaystyle (n+1)^{m}}$. Ο Μάτνερ το μείωσε σε ${\displaystyle m=1438989}$ ^[11] το οποίο μειώθηκε περαιτέρω σε ${\displaystyle m=155}$ από τον Κούλι-Χούγκιλ.^[12]

Οι Μπέικερ, Χάρμαν και Πιντζ απέδειξαν ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός στο διάστημα ${\displaystyle [x-x^{21/40},\,x]}$ για όλους τους μεγάλους ${\displaystyle x}$.^[13]

Ένας πίνακας μέγιστων αποστάσεων πρώτων δείχνει ότι η εικασία ισχύει για τουλάχιστον ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$, δηλαδή ${\displaystyle n=2\cdot 10^{9}}$.^[14]

Η αλήθεια ως προς την υπόθεση Ρίμαν προϋποθέτει μια ελαφρώς ασθενέστερη μορφή της εικασίας του Λεζάντρ:

Έστω p_m ο πρώτος της τάξεως m και n η τιμή [√p_m] + 1. Σύμφωνα με την εικασία του Λεζάντρ, θα υπήρχε ένας πρώτος p μεταξύ n² και (n + 1)². Τότε θα είχαμε τις ανισότητες (αυστηρές επειδή το τετράγωνο ενός ακεραίου δεν μπορεί να είναι πρώτος αριθμός)

${\displaystyle (n-1)^{2}<p_{m}<n^{2}<p<(n+1)^{2}}$

από το οποίο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

${\displaystyle p_{m+1}\leq p\leq ((n-1)+2)^{2}-1<({\sqrt {p_{m}}}+2)^{2}-1=p_{m}+4{\sqrt {p_{m}}}+3.}$

Αυτό θα μας έδινε

${\displaystyle p_{m+1}-p_{m}<4{\sqrt {p_{m}}}+3.}$

Επομένως, η υπόθεση του Ρίμαν της μορφής ${\displaystyle |\pi (x)-{\text{Li}}(x)|={\mathcal {O}}(x^{1/2}\ln x)}$ συνεπάγεται, για μια ορισμένη σταθερά C προσαρμοσμένη

${\displaystyle p_{m+1}-p_{m}\leq C{\sqrt {p_{m}}}\ln p_{m}.}$

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Υπόθεση Ρίμαν
• Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν
• Πρώτος αριθμός
• Τέρενς Τάο
• Σταθερά του Λεζάντρ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος

• Stewart, Ian (2 Οκτωβρίου 2014). Professor Stewart's Casebook of Mathematical Mysteries. Profile. ISBN 978-1-84765-432-8. 
• Deza, Elena (6 Αυγούστου 2021). Mersenne Numbers And Fermat Numbers. World Scientific. ISBN 978-981-12-3033-2. 
• Mao, Linfan. Mathematical Combinatorics, Vol. IV, 2014: international book series. Infinite Study. ISBN 978-1-59973-321-0. 
• Sriraman, Bharath (26 Απριλίου 2024). Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice. Springer Nature. ISBN 978-3-031-40846-5. 
• Chvátal, Vašek (26 Αυγούστου 2021). The Discrete Mathematical Charms of Paul Erd?s: A Simple Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-83183-3. 
• Mao, Linfan. International Journal of Mathematical Combinatorics, Volume 4, 2014. Infinite Study. 
• Coppel, W. A. (12 Αυγούστου 2009). Number Theory: An Introduction to Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-89485-0. 
• Bailey, David H.· Borwein, Jonathan M. (19 Ιουλίου 2016). Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation. Springer. ISBN 978-3-319-32377-0. 
• Debnath, Pradip· Srivastava, Hari M. (8 Μαΐου 2023). Advances In Number Theory And Applied Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-12-7261-5. 
• Chamberland, Marc (30 Μαΐου 2017). Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-17569-0. 

• «On Legendre's Conjecture - A. G. Shannon and J. V. Leyendekkers - Notes on Number Theory and Discrete Mathematics». 
• American institute of mathematics, Riemann hypothesis
• Apostol, Tom, Where are the zeros of zeta of s?, http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta  Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.
• Vanderveken, Daniel (19 Μαρτίου 2009). Meaning and Speech Acts: Volume 1, Principles of Language Use. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-10490-6. 
• Polya, George (23 Αυγούστου 1990). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02509-4. 

• Weisstein, Eric W., "Legendre's conjecture" από το MathWorld.
• «Legendre's Conjecture» (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Δεκεμβρίου 2024. 
• «The Proofs of Legendre's Conjecture and Three Related Conjectures - Journal of Applied Mathematics and Physics - SCIRP». www.scirp.org. Ανακτήθηκε στις 27 Δεκεμβρίου 2024. 
• Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics, Birkhäuser, ISBN 9780817681302, https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0