Ο φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού είναι ο λογάριθμός του x ως προς την βάση e, όπου e είναι μια άρρητη και υπερβατική σταθερά περίπου ίση με ${\displaystyle 2,718281828459}$. Ο φυσικός λογάριθμος του x συνήθως γράφεται ${\displaystyle \ln x}$, ${\displaystyle \log _{e}x}$ ή μερικές φορές όταν η βάση ${\displaystyle e}$ υπονοείται, απλά ${\displaystyle \log x}$.^[1] Κάποιες φορές για σαφήνεια προστίθενται παρενθέσεις, δίνοντας ${\displaystyle \ln(x)}$, ${\displaystyle \log _{e}(x)}$ ή ${\displaystyle \log(x)}$. Αυτό γίνεται ιδιαίτερα όταν το όρισμα του λογαρίθμου δεν είναι ένα μοναδικό σύμβολο, όπως π.χ. ${\displaystyle \ln(x+y)}$.

Ο φυσικός λογάριθμος του ${\displaystyle x}$ είναι η δύναμη στην οποία η σταθερά ${\displaystyle e}$ πρέπει να υψωθεί για να έχουμε την τιμή ${\displaystyle x}$. Για παράδειγμα ο ${\displaystyle \ln(7.5)=2.0149..}$ γιατί ${\displaystyle e^{2.0149..}=7.5}$. Ο φυσικός λογάριθμος της σταθερά ${\displaystyle e}$ είναι η μονάδα γιατί ${\displaystyle e^{1}=e}$ ενώ ο φυσικός λογάριθμος του 1 είναι το μηδέν ${\displaystyle \ln(1)=0}$ μιας και ${\displaystyle e^{0}=1}$. Ένας φυσικός λογάριθμος μπορεί να οριστεί για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.^[2]

${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{εάν }}x>0}$

${\displaystyle \ln(e^{x})=x.}$

${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .}$

• Εκθετική συνάρτηση

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:   φυσικός λογάριθμος

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.