Η σταθερά του Λεζάντρ είναι μαθηματική σταθερά που εμφανίζεται σε έναν τύπο που κατασκευάστηκε από τον Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ για να προσεγγίσει τη συμπεριφορά καταμέτρησης πρώτων αριθμών ${\displaystyle \pi (x)}$. Η τιμή που αντιστοιχεί ακριβώς στην ασυμπτωτική της συμπεριφορά είναι πλέον γνωστό ότι είναι 1.

Η εξέταση των διαθέσιμων αριθμητικών δεδομένων για γνωστές τιμές της ${\displaystyle \pi (x)}$ οδήγησε τον Λεζάντρ σε έναν προσεγγιστικό τύπο.

Ο Λεζάντρ πρότεινε το 1808 τον τύπο

${\displaystyle y={\frac {x}{\log(x)-1.08366}},}$ ( A228211), ως μια προσέγγιση του ${\displaystyle y=\pi (x)}$ με "πολύ ικανοποιητική ακρίβεια".^[1][2]

Σήμερα, η πραγματική σταθερά ${\displaystyle B}$ ορίζεται ως εξής

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)-B}},}$

η οποία επιλύεται θέτοντας

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\left(\log(n)-{n \over \pi (n)}\right),}$

υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει αυτό το όριο.

Όχι μόνο είναι πλέον γνωστό ότι το όριο υπάρχει, αλλά και ότι η τιμή του είναι ίση με 1, κάπως μικρότερη από το 1,08366 του Λεζάντρ. Ανεξάρτητα από την ακριβή τιμή του, η ύπαρξη του ορίου ${\displaystyle B}$ υποδηλώνει το θεώρημα των πρώτων αριθμών.

Ο Παφνούτι Τσεμπίσοφ απέδειξε το 1849^[3] ότι αν το όριο B υπάρχει, πρέπει να είναι ίσο με 1. Μια ευκολότερη απόδειξη δόθηκε από τον Πιντζ το 1980^[4].

Είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος των πρώτων αριθμών, υπό την ακριβή μορφή με ρητή εκτίμηση του όρου σφάλματος

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

(για κάποια θετική σταθερά a, όπου O(...) είναι ο συμβολισμός big O^[5]), όπως αποδείχθηκε το 1899 από τον Σαρλ ντε Λα Βαλέ Πουσέν,^[6][7] ότι ο Β είναι πράγματι ίσος με 1. (Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είχε αποδειχθεί το 1896, ανεξάρτητα από τον Ζακ Ανταμάρ ^[8] και τον Λα Βαλέ Πουσέν,^{[9]:183–256, 281–361}: αλλά χωρίς καμία εκτίμηση του σχετικού όρου σφάλματος).

Η αξιολόγηση σε έναν τόσο απλό αριθμό έχει καταστήσει τον όρο σταθερά του Λεζάντρ ως επί το πλείστον μόνο ιστορικής αξίας, με τον όρο να χρησιμοποιείται συχνά (τεχνικά λανθασμένα) για να αναφέρεται στην πρώτη εικασία του Λεζάντρ 1,08366... αντί αυτού.

Χρησιμοποιώντας την Συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών ${\displaystyle \pi (x)}$ μπορούμε να υπολογίσουμε ${\displaystyle B(x)=\log x-{\frac {x}{\pi (x)}}}$ για τιμές του ${\displaystyle x}$ πολύ πέρα από αυτές που ήταν διαθέσιμες στον Λεζάντρ:

Η σταθερά του Λεζάντρ προσεγγίζει ασυμπτωτικά το 1 για μεγάλες τιμές του ${\displaystyle x}$

x	B(x)		x	B(x)		x	B(x)		x	B(x)
102	0,605170		1016	1,029660		1030	1,015148		1044	1,010176
103	0,955374		1017	1,027758		1031	1,014637		1045	1,009943
104	1,073644		1018	1,026085		1032	1,014159		1046	1,009720
105	1,087571		1019	1,024603		1033	1,013712		1047	1,009507
106	1,076332		1020	1,023281		1034	1,013292		1048	1,009304
107	1,070976		1021	1,022094		1035	1,012897		1049	1,009108
108	1,063954		1022	1,021022		1036	1,012525		1050	1,008921
109	1,056629		1023	1,020050		1037	1,012173		1051	1,008742
1010	1,050365		1024	1,019164		1038	1,011841		1052	1,008569
1011	1,045126		1025	1,018353		1039	1,011527		1053	1,008403
1012	1,040872		1026	1,017607		1040	1,011229		1054	1,008244
1013	1,037345		1027	1,016921		1041	1,010946		1055	1,008090
1014	1,034376		1028	1,016285		1042	1,010676		1056	1,007942
1015	1,031844		1029	1,015696		1043	1,010420		1057	1,007799

Οι τιμές μέχρι ${\displaystyle \pi (10^{29})}$ (οι δύο πρώτες στήλες) είναι ακριβώς γνωστές- οι τιμές στην τρίτη και τέταρτη στήλη εκτιμώνται με τη χρήση της συνάρτησης καταμέτρησης πρώτων αριθμών Ρίμαν^[10] .

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Υπόθεση Ρίμαν
• Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν
• Πρώτος αριθμός
• Εικασία του Λεζάντρ
• Ευρετική
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

• Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3. 
• Echeverría, Javier· Ibarra, Andoni (1992). The Space of Mathematics: Philosophical, Epistemological, and Historical Explorations. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-013249-6. 
• Malcata, F. Xavier (13 Δεκεμβρίου 2020). Food Process Engineering: Safety Assurance and Complements. CRC Press. ISBN 978-1-000-69288-4. 
• Agarwal, Ravi P.· Sen, Syamal K. (11 Νοεμβρίου 2014). Creators of Mathematical and Computational Sciences. Springer. ISBN 978-3-319-10870-4. 
• Bailey, David H.· Borwein, Jonathan M. (19 Ιουλίου 2016). Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation. Springer. ISBN 978-3-319-32377-0. 
• Wells, David (13 Ιανουαρίου 2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. Turner Publishing Company. ISBN 978-1-118-04571-8. 
• Musielak, Dora (23 Μαρτίου 2020). Sophie Germain: Revolutionary Mathematician. Springer Nature. ISBN 978-3-030-38375-6. 
• Aflitunov, Albert (26 Οκτωβρίου 2024). Arithmetic (number theory). Litres. ISBN 978-5-04-688265-0. 
• Agarwal, Ravi P.· Sen, Syamal K. (11 Νοεμβρίου 2014). Creators of Mathematical and Computational Sciences. Springer. ISBN 978-3-319-10870-4. 
• Aflitunov, Albert (26 Οκτωβρίου 2024). Arithmetic (number theory). Litres. ISBN 978-5-04-688265-0. 
• Weisstein, Eric W. «Goldbach Conjecture». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 25 Δεκεμβρίου 2024. 
• Darling, David (21 Απριλίου 2008). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. Turner Publishing Company. ISBN 978-0-470-30788-5. 
• Vanderveken, Daniel (19 Μαρτίου 2009). Meaning and Speech Acts: Volume 1, Principles of Language Use. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-10490-6. 
• Polya, George (23 Αυγούστου 1990). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02509-4. 

• Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions, Springer-Verlag, ISBN 9783540485940, https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ 
• de Bruijn, N. G. (1981), Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, ISBN 9780486642215, https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ 
• Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics, Birkhäuser, ISBN 9780817681302, https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0