Der Vater von Morrison war als Bergmann in einer Diamantmine in Südafrika tätig, bis diese an die Firma DeBeers verkauft wurde. Anschließend ließ er sich als Farmer in Schottland nieder.
Morrison begann seine politische Laufbahn 1923 und 1924 mit erfolglosen Wahlen zum Unterhaus für den Wahlkreis Western Isles.
1929 erfolgte dann schließlich seine Wahl zum Abgeordneten des House of Commons. Dort vertrat er als Nachfolger von Thomas Davies den Wahlkreis Cirencester and Tewkesbury. Er gehörte der Conservative Party an. Während seiner bis 1959 dauernden Parlamentszugehörigkeit erhielt er den Spitznamen „Shakes“ wegen seiner Initialen W. S. sowie seiner Vorliebe zur Nutzung von Shakespeare-Zitaten in seinen Reden.
Bei diesen Parlamentswahlen griff er die Labour Party von Clement Attlee an, indem er deren „Sozialismus“ kritisierte und behauptete, dass auch Adolf Hitler und Benito Mussolini als Sozialisten begonnen hätten. 1947 kritisierte er die bereits während des Krieges eingeführten Personalausweise als Beeinträchtigung für gesetzestreue Bürger und wegen deren angeblicher Ineffektivität.
Parlamentssprecher
Nach der Wahlsieg der Conservative Party unter Churchill bei den Unterhauswahlen 1951 wurde er als Nachfolger des zurückgetretenen Douglas Clifton Brown zum Sprecher (Speaker) des House of Commons gewählt. Bei dieser Wahl kam es erstmals zu einer Wahl zwischen zwei Kandidaten, da die Labour Party nach der Wahlniederlage dieses Amt für sich beanspruchte und den bisherigen Stellvertretenden Unterhaussprecher James Milner für das Amt nominierte. 1959 schied Morrison aus dem Parlament aus und wurde durch seinen Parteifreund Harry Hylton-Foster als Speaker abgelöst.
Mitglied des Oberhauses und Generalgouverneur von Australien
Im gleichen Jahr wurde er zum Generalgouverneur von Australien berufen. Zu diesem Zeitpunkt war in Australien selbst der Wunsch eines einheimischen Generalgouverneurs entstanden, allerdings musste sich der damalige Premierminister Australiens, Robert Menzies, dem britischen Vorschlag beugen. Am 2. Februar 1960 trat er sein Amt als Generalgouverneur an. Am 3. Februar 1961 verstarb er genau ein Jahr und einen Tag nach seiner Amtsübernahme in Canberra. Morrison war der einzige Generalgouverneur Australiens, der im Amt verstarb.
Seinen Titel Viscount Dunrossil übernahm sein Sohn John Morrison, der Karrierediplomat und 1983 bis 1988 Gouverneur von Bermuda war.