Sein Vater Tsuguhiko Kozuka war ebenfalls Eiskunstläufer und nahm an den Olympischen Winterspielen 1968 in Grenoble im Einzel teil. Seine Mutter war Eistänzerin. Auch sein Großvater Mitsuhiko war eine Persönlichkeit in den frühen Jahren des japanischen Eiskunstlaufsports. Kozuka selbst begann sich für das Eiskunstlaufen zu begeistern, als er 1994 Yuka Satōs Weltmeisterschaftsgewinn im Fernsehen verfolgte.[1]
Seine erste Medaille bei einer bedeutenden Meisterschaft gewann er im Jahr darauf mit Bronze bei der Vier-Kontinente-Meisterschaft 2009. Wenig später erreichte er bei der Weltmeisterschaft in Los Angeles den sechsten Platz. Seine ersten Olympischen Spiele beendete Kozuka 2010 in Vancouver als Achter. Bei der Weltmeisterschaft im olympischen Jahr reichte es für ihn lediglich zum zehnten Platz.
In das Jahr 2011 ging Kozuka erstmals als japanischer Meister. Bei der Weltmeisterschaft 2011 in Moskau gewann er beim Sieg des Kanadiers Patrick Chan mit Silber seine erste WM-Medaille. Ausschlaggebend für diesen Erfolg war nach dem sechsten Rang im Kurzprogramm seine Kür zu Liszts1. Klavierkonzert, die eine Verbesserung seiner bisherigen Bestleistung in diesem Segment um mehr als zehn Punkte darstellte und die zweitbeste Kür des Feldes war.