Synthetische Geometrie ist der Zweig der Geometrie, der von geometrischen Axiomen und Theoremen ausgeht und häufig synthetische Betrachtungen bzw. Konstruktionsmethoden benutzt – im Unterschied zur analytischen Geometrie, in der algebraische Strukturen wie Körper und Vektorräume bereits zur Definition von geometrischen Strukturen verwendet werden.
Die moderne synthetische Geometrie geht von axiomatisch formulierten „geometrischen“ Grundsätzen aus, die die geometrischen Objekte, Punkte, Geraden, Ebenen usw. implizit durch ihre Beziehungen zueinander definieren, und untersucht die logischen Abhängigkeiten zwischen unterschiedlich formulierten Axiomensystemen. Dabei werden die geometrischen Axiome meistens durch algebraische Strukturen (Koordinatenmengen im weitesten Sinne oder strukturerhaltende Abbildungen, wie Kollineationen) modelliert und damit in die moderne Mathematik eingegliedert, die auf der Mengenlehre beruht und aus dem Anschauungsraum geschöpfte Evidenzargumente, wie sie für Euklid noch selbstverständlich waren, aus Beweisen ausschließt.
Die Geometrie des Euklid war im Wesentlichen synthetisch, auch wenn sich nicht alle seine Werke der reinen Geometrie widmeten. Sein Hauptwerk „Elemente“ baut die gesamte Mathematik auf geometrischen Grundlagen auf. Auch Zahlen werden zunächst als Verhältnisse von Längen etabliert und ihre Beziehungen geometrisch begründet.
Der umgekehrte Ansatz der analytischen Geometrie, in der geometrische Objekte erst durch Zahlen und Gleichungen – Koordinaten – und später durch allgemeinere algebraische Strukturen definiert werden, ist im 17. Jahrhundert durch die Rezeption der Werke von René Descartes in der Mathematik vorherrschend geworden – vermutlich gehen die wesentlichen Ideen dazu auf andere Wissenschaftler zurück, siehe dazu den Abschnitt zur Mathematik bei Descartes. Der analytische Ansatz hat danach Verallgemeinerungen der euklidischen Geometrie angestoßen und vielleicht erst ermöglicht.
Die in der Einleitung beschriebene moderne synthetische Geometrie nach Descartes beschäftigte sich intensiv mit der Frage nach den logischen Voraussetzungen und Folgerungen des Parallelenaxioms. Dies führte zu nichteuklidischen Geometrien, zur elliptischen und hyperbolischen Geometrie und zu gemeinsamen Verallgemeinerungen in der absoluten Geometrie.
Einen Höhepunkt erreichte die moderne synthetische Geometrie im 19. Jahrhundert u. a. mit den Beiträgen von Jakob Steiner zur projektiven Geometrie.
Da die synthetische Geometrie die axiomatischen Voraussetzungen für „Geometrie“ in einem sehr allgemeinen Sinn auslotet, gibt es hier eine Vielzahl von Axiomen, die nach unterschiedlichen Gesichtspunkten klassifiziert werden können.
Obwohl die Beschäftigung mit Problemen der analytischen Geometrie der Schwerpunkt insbesondere der computer-gestützten algorithmischen Geometrie ist, wird in diesem Rahmen auch synthetische Geometrie (computational synthetic geometry[1]) betrieben. Dabei wird zum Beispiel untersucht, zu welchen Ordnungen (Anzahl der Elemente einer Geraden) endliche Inzidenzebenen existieren können (siehe dazu Blockplan).
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