Belmont absolvierte die Everest Military Academy in Hamden (Connecticut) und graduierte 1872 an der Harvard University sowie 1876 an der Columbia Law School. Anschließend war er fünf Jahre lang in New York als Rechtsanwalt tätig. Seine Kanzleipartner waren sein Cousin, der Schriftsteller Arthur Dudley Vinton, sowie George Frelinghuysen, der spätere Präsident der Brauerei Ballantine.