Spitta war der Sohn eines Oberstabsarztes. Er besuchte das Saldernsche Gymnasium in Brandenburg an der Havel und war nach der dort abgelegten Reifeprüfung für ein Jahr Schüler des Hofbaurats Adolf Lohse in Berlin.[1] Nach einem Studium an der Berliner Bauakademie legte Spitta 1868 die Bauführer- und nach dem Referendariat 1872 die Baumeisterprüfung ab. Danach stand er bis an sein Lebensende im öffentlichen Dienst. Er arbeitete in der Berliner Magistratsbauverwaltung, in der Ministerial-Baukommission sowie ab 1896 als Vortragender Rat im preußischen Kultusministerium, ferner war er seit 1899 außerordentliches Mitglied der preußischen Akademie des Bauwesens. Kaiser Wilhelm II. schätzte Spitta und betraute ihn mit verschiedenen Entwürfen bzw. Bauprojekten, so wurde ihm auch die Bauleitung der Siegesallee im Großen Tiergarten übertragen.
Spitta prägte mit seinen historistischen Entwürfen die Berliner Sakral-Architektur.