In seiner Arbeit über Minimalflächen von 1968 bewies er die nach ihm benannte Simons-Ungleichung[6], eine untere Schranke für den Laplace-Operator, der auf das Quadrat des Betrags der zweiten Fundamentalform einer minimalen Hyperfläche in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt. Sie spielte eine fundamentale Rolle bei der Lösung des Bernstein-Problems. Sergei Natanowitsch Bernstein hatte 1927 bewiesen, dass in zwei Dimensionen im euklidischen Raum vollständige Minimalflächen Hyperflächen sind, was Ennio De Giorgi auf d=3 erweitert hatte und Frederick Almgren für d=4. Simons konnte mit seiner Ungleichung zeigen, dass der Satz für zutrifft, und wenig später konnte durch De Giorgi, Enrico Giusti und Enrico Bombieri gezeigt werden, dass der Satz für höhere Dimensionen nicht mehr gilt. Dabei leistete Simons ebenfalls eine wichtige Vorarbeit: Er führte einen siebendimensionalen Kegel im achtdimensionalen euklidischen Raum ein (Simons-Kegel)[7], von dem Bombieri, De Giorgi und Giusti dann zeigten, dass er eine Minimalfläche war und damit ein Gegenbeispiel zur Bernstein-Vermutung lieferte. Der Simons-Kegel hat die Gleichung im .
1978 wandte er sich von der Mathematik ab und ging in die Finanzbranche, in der er eine Vorreiterrolle in der Anwendung fortgeschrittener mathematischer Methoden hatte. 1982 gründete er die New Yorker InvestmentgesellschaftRenaissance Technologies mit ihrem Flaggschiff-Hedgefonds „Medallion Fund“, in der er auch eine Gesellschaft von James Ax 1988 verschmolz und dessen Vorsitzender er bis 2010 war. 2005 gründete er für institutionelle Investoren den Renaissance Institutional Equity Fund.[9]
2006 war er Finanzingenieur des Jahres der IAFE (International Association of Financial Engineers).
Simons stiftete für mathematische Forschung (z. B. MSRI) und Autismusforschung (wo seine Stiftung seit 2007 über 200 Millionen Dollar vor allem in die Forschung spendete[10]). Seine Tochter ist autistisch. Außer beim MSRI war er Trustee der Rockefeller University, des Institute for Advanced Study (dem er eine hohe Summe für biologische Forschung spendete) und des Brookhaven National Laboratory (2006 retteten er und einige andere mit 13 Millionen Dollar den Relativistic Heavy Ion Collider vor der Schließung). Zum Gedenken an zwei seiner Söhne, die bei Unfällen starben, gründete die Simons Foundation das private Naturschutzgebiet Avalon Nature Preserve bei Stony Brook mit 216 Acres[11] und das Gesundheitssystem in Nepal. Im Februar 2008 stiftete er 60 Millionen Dollar für das neu gegründete Science Center for Geometry and Physics in Stony Brook. Seine Simons Foundation unterstützt Forschung in Mathematik und Theoretischer Physik unter anderem durch Stipendien wie die Simons Fellowships.[12]
Paradise Papers
2017 wurde im Zuge der Veröffentlichungen um die Paradise Papers bekannt, dass Simons auf Bermuda eine Treuhandgesellschaft namens Lord Jim Trust besessen hatte. Der Wert des Lord Jim Trust belief sich Ende 2010 auf ungefähr acht Milliarden US-Dollar, wodurch sein Vermögen um einiges höher war als bis dahin angenommen. Der Lord Jim Trust wurde in vier kleinere Treuhandgesellschaften aufgeteilt, jeweils für Simons und drei seiner Kinder. Nach eigenen Angaben hat Simons seinen Anteil an das 2011 gegründete Unternehmen Simons Foundation International weitergegeben, nicht zu verwechseln mit der Simons Foundation.[13]
Familie
Simons war zweimal verheiratet. Aus erster Ehe hatte er drei, aus zweiter zwei Kinder. Er hatte ein Anwesen in Head of the Harbor. Aus erster Ehe mit Barbara Bluestein Simons, einer Informatikerin und ehemaligen Präsidentin der Association for Computing Machinery (ACM), stammt Nathaniel „Nat“ Simons (* 1966), der über seine in San Francisco ansässige Firma Meritage Group ebenso als Hedgefonds-Manager tätig ist und 2020 zum Co-Chairman von Renaissance Technologies ernannt wurde.[14]