Burnett wurde in Virginia geboren, zog aber schon als Kind mit seinen Eltern nach Kentucky, wo er die Schule besuchte und die Rechte studierte. 1847 wurde er in die Anwaltskammer aufgenommen und begann in Cadiz als Jurist zu praktizieren. Später war er am Bezirksgericht des Trigg County angestellt.
1854 wurde Henry Burnett als Abgeordneter für den 1. Wahldistrikt von Kentucky ins US-Repräsentantenhaus gewählt. In diesem Amt wurde er dreimal bestätigt, ehe der Kongress ihn als Unterstützer der Sezession der Südstaaten am 3. Dezember 1861 aus seinen Reihen ausschloss.