Anfang 1843 trat er eine Stelle als dritter Assistent ohne Gehalt in der Praxis von Stephan Friedrich Barez (1790–1856) an. 1850 eröffnete er seine eigene Praxis in Berlin. Er wurde zu einem der angesehensten Hausärzte der Stadt, so war er auch der Hausarzt zahlreicher prominenter Persönlichkeiten, etwa des Malers Adolph von Menzel, des Architekten Martin Gropius und des Archäologen Ernst Curtius, der Familien Krupp, Borsig und von Siemens.
Verheiratet war er mit Marie, geborener Thaer (1832–1898), einer Tochter des Arztes Andreas Ernst Thaer (1790–1837) und Enkelin des Agrarwissenschaftlers Albrecht Daniel Thaer. Sie hatten zehn Kinder, sieben Söhne: den Archäologen Gustav Körte (1852–1917), den Chirurgen Werner Körte (1853–1937), den Architekten Friedrich Körte (1854–1934), den Maler Martin Körte (1857–1929), den Oberbürgermeister von Königsberg Siegfried Körte (1861–1919), den Ingenieur Christian Körte (1862–1920), den Klassischen Philologen Alfred Körte (1866–1946), und drei Töchter: Magdalene Körte (1856–1858), Marie Körte (1859–1863), Margarete Körte (1864–1918).
Otto Winkelmann: Friedrich Körte (1818–1914), Gründungsvorsitzender der Ärztekammer Berlin-Brandenburg. Zum 50. Todestag. In: Berliner Medizin. Band 15, 1964, S. 649–650.
Hinrich Wilckens: Friedrich und Werner Körte. Leben und Werk zweier Berliner Ärzte. Dissertation. FU Berlin, 1966.