Der Defekt ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu.

Seien ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ zwei endlichdimensionale Vektorräume, die Dimension von ${\displaystyle V}$ sei ${\displaystyle n}$, die Dimension von ${\displaystyle W}$ sei ${\displaystyle m}$. Sei weiter ${\displaystyle f\colon V\to W}$ eine lineare Abbildung. Dann ist der Defekt dieser Abbildung als die Dimension des Kerns der Abbildung definiert, kurz

${\displaystyle \operatorname {def} (f)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (f))}$.^[1]

Eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$ mit Elementen aus einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ kann als lineare Abbildung ${\displaystyle f_{A}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m},x\mapsto Ax}$ interpretiert werden. In diesem Sinne wird der Defekt der Matrix ${\displaystyle A}$ durch

${\displaystyle \operatorname {def} (A):=\operatorname {def} (f_{A})}$

definiert. Der Defekt von ${\displaystyle A}$ ist also gleich der Dimension des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=0}$.

Ist ${\displaystyle A}$ die Nullmatrix, so ist ${\displaystyle \operatorname {def} (A)}$ gleich der Spaltenzahl von ${\displaystyle A}$. Andernfalls ist ${\displaystyle \operatorname {def} (A)}$ gleich der maximalen Anzahl von Spalten, die man so aus ${\displaystyle A}$ streichen kann, dass die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie ${\displaystyle A}$ hat. Die gestrichenen Spalten sind dann von den in der verkleinerten Matrix verbleibenden Spalten linear abhängig.

Vor allem für die Handrechnung bei kleinen Matrizen eignet sich das gaußsche Eliminationsverfahren mit Zeilen- und Spaltentausch zur Bestimmung des Defektes. Jede Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$ lässt sich mit diesem Verfahren in eine äquivalente Matrix ${\displaystyle {\bar {A}}}$ mit ${\displaystyle {\bar {A}}_{i,j}=0}$ für ${\displaystyle i>j}$ umformen, bei der mit einem ${\displaystyle r\in \{0,\ldots ,m\}}$ die Diagonalelemente der ersten ${\displaystyle r}$ Zeilen mit Nichtnullelementen besetzt sind und die übrigen Zeilen Nullzeilen sind (${\displaystyle r}$ ist der Rang der Matrix ${\displaystyle A}$). Der Defekt dieser Matrix ist dann ${\displaystyle \operatorname {def} (A)=n-r}$ (das ist die Aussage des Rangsatzes).

Sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle A}$ nicht die Nullmatrix ist. Streicht man aus ${\displaystyle A}$ diejenigen Spalten, die den Spalten ${\displaystyle r+1,\ldots ,n}$ in der Matrix ${\displaystyle {\bar {A}}}$ entsprechen (hierbei sind während des gaußschen Eliminationsverfahrens erfolgte Spaltenvertauschungen zu berücksichtigen), so hat die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie ${\displaystyle A}$. Beim Streichen weiterer Spalten (falls das möglich ist) verkleinert sich das Bild der Matrix.

Bei quadratischen Matrizen (also für ${\displaystyle m=n}$) ist der Defekt von ${\displaystyle A}$ gleich der Anzahl der Nullzeilen in ${\displaystyle {\bar {A}}}$.

Numerisch stabiler, jedoch auch aufwendiger als das gaußsche Eliminationsverfahren ist die Bestimmung des Defektes einer Matrix mittels Singulärwertzerlegung.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&5&4\\0&10&2\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&5&4\\0&0&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=3\Rightarrow \mathrm {def} (A)=0}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&3&2\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=2\Rightarrow \mathrm {def} (A)=1,}$

Ein Spaltentausch war nicht notwendig, also hat die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&6\\0&3\end{pmatrix}},}$

die aus ${\displaystyle A}$ durch Streichen der letzten Spalte entsteht, dasselbe Bild wie ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=2\Rightarrow \operatorname {def} (A)=1}$

Spaltentausch war wiederum nicht notwendig, also hat diese Matrix das gleiche Bild wie ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\\0&0\end{pmatrix}}\Rightarrow n=2,r=2\Rightarrow \operatorname {def} (A)=0}$

Hauptartikel: Rangsatz

Der Rangsatz zeigt einen Zusammenhang zwischen dem Defekt und dem Rang ${\displaystyle \operatorname {rg} (f)}$ einer linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}$.

${\displaystyle \dim V=\operatorname {def} (f)+\operatorname {rg} (f)}$

1. ↑ Michael Artin: Algebra. Birkhäuser, Basel u. a. 1998, ISBN 3-7643-5938-2, S. 123 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).