Der im Bostoner Ortsteil West Roxbury geborene Andrew Peters besuchte die öffentlichen Schulen seiner Heimat und studierte danach bis 1895 an der Harvard University. Nach einem anschließenden Jurastudium an derselben Universität und seiner 1897 erfolgten Zulassung als Rechtsanwalt begann er in Boston in diesem Beruf zu arbeiten. Gleichzeitig schlug er als Mitglied der Demokratischen Partei eine politische Laufbahn ein. Im Jahr 1902 war er Abgeordneter im Repräsentantenhaus von Massachusetts; zwischen 1904 und 1905 gehörte er dem Staatssenat an. Außerdem diente er fünf Jahre lang in der Nationalgarde seines Staates.
Zwischen 1914 und 1917 war Peters als Assistant Secretary of the Treasury stellvertretender US-Finanzminister. Danach war er von 1918 bis 1922 als Nachfolger von James Michael CurleyBürgermeister von Boston. Anschließend praktizierte er wieder als Anwalt. In den Jahren 1926 bis 1928 amtierte er auch als Präsident der Handelskammer von Boston. Sein Ruf wurde durch eine Affäre mit einer Verwandten seiner Frau beschädigt, die im Jahr 1931 unter mysteriösen Umständen starb. 1932 wurde er in die American Academy of Arts and Sciences gewählt. Andrew Peters starb am 26. Juni 1938 in Jamaica Plain.
Peters war mit Martha Robeson Phillips (1882–1960), einer Schwester von John Charles Phillips und Urenkelin von John Phillips, dem ersten Bürgermeister von Boston, verheiratet. Das Paar hatte sechs Söhne, von denen zwei jung starben. Martha überlebte 1909 den Untergang des Ozeandampfers RMS Republic vor Nantucket, wobei sechs Menschen ums Leben kamen.
