Věty o izomorfismu (Noetherové věty o izomorfismu) jsou v abstraktní algebře, oboru matematiky, matematické věty, které popisují vztah mezi faktorovými algebrami, homomorfismy a podobjekty. Věty existují ve verzích pro grupy, okruhy, vektorové prostory, moduly, Lieovy algebry a jiné algebraické struktury. V univerzální algebře lze věty o izomorfismu zobecnit na kontext algeber a kongruencí.

Věty o izomorfismu formulovala v určité obecnosti pro homomorfismy modulů Emmy Noetherová ve svém článku Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, který byl publikován v roce 1927 v Mathematische Annalen. Méně obecné verze těchto vět lze nalézt v práci Richarda Dedekinda a ve starších odborných článcích E. Noetherové.

O tři roky později publikoval B.L. van der Waerden svoji vlivnou Moderne Algebra, první učebnici abstraktní algebry, která k tématu přistupovala pomocí grup, okruhů a těles. Van der Waerden uvedl jako hlavní pramen přednášky Noetherové o teorii grup a přednášky Emila Artina o algebře, jakož i seminář o ideálech, který vedli Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier a sám van der Waerden. Explicitně se jedná o tři věty o izomorfismu nazývané věta o homomorfismu a dva zákony izomorfismu při aplikaci na grupy.

Následuje prezentace vět o izomorfismu grup.

Nechť G a H jsou grupy, a nechť f : G → H je grupový homomorfismus. Pak:

1. Jádro homomorfismu f je normální podgrupa grupy G,
2. Obraz homomorfismu f je podgrupa grupy H, a
3. Obraz homomorfismu f je izomorfní s faktorovou grupou G / ker(f).

Speciálně pokud f je surjektivní pak H je izomorfní s G / ker(f).

Tato věta se obvykle nazývá první věta o izomorfismu.

Nechť ${\displaystyle G}$ je grupa. Nechť ${\displaystyle S}$ je podgrupa grupy ${\displaystyle G}$, a nechť ${\displaystyle N}$ je normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$. Pak platí:

1. Součin ${\displaystyle SN}$ je podgrupa grupy ${\displaystyle G}$,
2. Podgrupa ${\displaystyle N}$ je normální podgrupa grupy ${\displaystyle SN}$,
3. Průnik ${\displaystyle S\cap N}$ je normální podgrupa podgrupy ${\displaystyle S}$, a
4. Faktorové grupy ${\displaystyle (SN)/N}$ a ${\displaystyle S/(S\cap N)}$ jsou izomorfní.

Technicky není nezbytné, aby ${\displaystyle N}$ byla normální podgrupa, pokud ${\displaystyle S}$ je podgrupa normalizátoru podgrupy ${\displaystyle N}$ v ${\displaystyle G}$. V tomto případě ${\displaystyle N}$ není normální podgrupou grupy ${\displaystyle G}$, ale ${\displaystyle N}$ je stále normální podgrupou součinu ${\displaystyle SN}$.

Tato věta se někdy nazývá druhá věta o izomorfismu,^[1], anglicky diamond theorem^[2] nebo parallelogram theorem.^[3]

Aplikace druhé věty o izomorfismu identifikuje projektivní lineární grupy: například grupa na Riemannově sféře vychází z ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$, grupa invertovatelných matic 2 × 2 komplexních čísel vychází z ${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$, podgrupa matic s determinantem 1, a ${\displaystyle N}$ normální podgrupa skalární matice ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$, máme ${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$, kde ${\displaystyle I}$ je jednotková matice, a ${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$. Pak druhá věta o izomorfismu říká, že:

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Nechť ${\displaystyle G}$ je grupa, a ${\displaystyle N}$ normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$. Pak

1. Pokud ${\displaystyle K}$ je podgrupa grupy ${\displaystyle G}$ taková, že ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, pak ${\displaystyle G/N}$ má podgrupu izomorfní s ${\displaystyle K/N}$.
2. Každá podgrupa grupy ${\displaystyle G/N}$ má tvar ${\displaystyle K/N}$ pro nějakou podgrupu ${\displaystyle K}$ grupy ${\displaystyle G}$ taková, že ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
3. Pokud ${\displaystyle K}$ je normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$ taková, že ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, pak ${\displaystyle G/N}$ má normální podgrupu izomorfní s ${\displaystyle K/N}$.
4. Každá normální podgrupa grupy ${\displaystyle G/N}$ má tvar ${\displaystyle K/N}$ pro nějakou normální podgrupu ${\displaystyle K}$ grupy ${\displaystyle G}$ takovou, že ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
5. Pokud ${\displaystyle K}$ je normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$ taková, že ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, pak faktorová grupa ${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$ je izomorfní s ${\displaystyle G/K}$.

Za třetí větu o izomorfismu je někdy označováno jen poslední tvrzení. První čtyři tvrzení se často zahrnují pod níže uvedenou větu D, a říká se jim svazová věta, věta o korespondenci nebo čtvrtá věta o izomorfismu.

Nechť ${\displaystyle G}$ je grupa, a ${\displaystyle N}$ normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$. Kanonické projekce homomorfismu ${\displaystyle G\rightarrow G/N}$ definuje bijektivní korespondence mezi množinou podgrup grupy ${\displaystyle G}$ obsahujících ${\displaystyle N}$ a množinou (všech) podgrup grupy ${\displaystyle G/N}$. Při této korespondenci normální podgrupy odpovídají normálním podgrupám.

Tato věta se někdy nazývá věta o korespondenci, svazová věta nebo čtvrtá věta o izomorfismu.

Čtvrtou větou o izomorfismu se někdy nazývá Zassenhausovo lemma (motýlové lemma).^[4]

První větu o izomorfismu lze vyjádřit v jazyce teorie kategorií tak, že kategorie grup je (normální epi, mono)-faktorizovatelná; jinými slovy normální epimorfismy a monomorfismy tvoří faktorizační systém kategorie. To je zachyceno v komutativním diagramu na okraji, který ukazuje objekty a morfismy, jejichž existenci lze odvodit z morfismu ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$. Diagram ukazuje, že každý morfismus v kategorii grup má jádro ve smyslu teorie kategorií; libovolný morfismus f se dělí na morfismy ${\displaystyle \iota \circ \pi }$, kde ι je monomorfismus a π je epimorfismus (v konormální kategorii jsou všechny epimorfismy normální). To je znázorněno v diagramu objektem ${\displaystyle \ker f}$ a monomorfismem ${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$ (jádra jsou vždy monomorfismy), který doplňují krátkou exaktní posloupnost běžící z dolního levého rohu do horního pravého rohu diagramu. Použití konvence exaktní posloupnosti nás ušetří od nutnosti kreslit nulové morfismy z ${\displaystyle \ker f}$ do ${\displaystyle H}$ a ${\displaystyle G/\ker f}$.

Pokud je posloupnost rozdělena zprava (tj. existuje morfismus σ, který zobrazuje ${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$ na ${\displaystyle \pi }$-vzor sebe sama), pak G je semidirektním součinem normální podgrupy ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$ a podgrupy ${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$. Pokud je rozdělen vlevo (tj. existuje nějaký ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$ takové, že ${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$), pak musí také být správně rozděleno, a ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$ je přímý součin rozklad grupy G. Obecně platí, že existence pravého rozdělení neznamená existenci levého rozdělení; ale v abelovské kategorii (např. v kategorii abelovských grup) jsou levé a pravé rozdělení ekvivalentní podle lemmatu o rozdělení, a pravé rozdělení je postačující pro získání rokladu přímého součtu grupy ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$. V abelovské kategorii jsou také všechny monomorfismy normální, a graf lze rozšířit o druhou krátkou exaktní posloupnost ${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$.

Ve druhé větě o izomorfismu je součin SN je spojením S a N ve svazové podgrupě grupy G, zatímco průnik S ∩ N je průsekem.

Lemma devíti zobecňuje třetí větu o izomorfismu na abelovské kategorie a obecnější zobrazení mezi objekty.

Následující tabulka obsahuje čtyři věty označené A, B, C a D, které jsou obvykle číslované jako „První věta o izomorfismu“, „Druhá...“ atd.; ale různí autoři je číslují různě. V tabulce jsou uvedeny příklady vět o izomorfismu grup v literatuře. Všimněte si, že k těmto větám existují obdoby pro okruhy a moduly.

Porovnání jmen vět o izomorfismu grup

Komentář	Autor	Věta A	Věta B	Věta C
Žádná „třetí“ věta	Jacobson[5]	Základní věta o homomorfismu	(Druhá věta o izomorfismu)	“často označovaná jako první věta o izomorfismu“
	van der Waerden,[6] Durbin[8]	Základní věta of homomorfismy	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu
	Knapp[9]	(Žádné jméno)	Druhá věta o izomorfismu	První věta o izomorfismu
	Grillet[10]	věta o Homomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	První věta o izomorfismu
Tři číslované věty	(Jiné konvence než u Grilleta)	První věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu
	Rotman[11]	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu
	Fraleigh[12]	Základní věta o homomorfismu nebo první věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu
	Dummit & Foote[13]	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu (diamond theorem)	Třetí věta o izomorfismu
Nečíslované	Milne[1]	Věta o homomorfismu	Věta o izomorfismu	Věta o korespondenci
	Scott[14]	Věta o homomorfismu	Věta o izomorfismu	Freshmanova věta

Je méně běžný zahrnout Větu D, obvykle známou jako svazová věta nebo věta o korespondenci, jako jednu z vět o izomorfismu, pokud je však obsažena, je poslední.

Tvrzení vět pro okruhy jsou podobná, ale pojem normální podgrupy je nahrazen pojmem ideálu.

Nechť ${\displaystyle R}$ a ${\displaystyle S}$ jsou okruhy, a nechť ${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$ je okruhový homomorfismus. Pak:

1. Jádro homomorfismu ${\displaystyle \varphi }$ je ideál okruhu ${\displaystyle R}$,
2. Obraz homomorfismu ${\displaystyle \varphi }$ je podokruh okruhu ${\displaystyle S}$, a
3. Obraz homomorfismu ${\displaystyle \varphi }$ je izomorfní s faktorokruhem ${\displaystyle R/\ker \varphi }$.

Speciálně pokud ${\displaystyle \varphi }$ je surjektivní pak ${\displaystyle S}$ je izomorfní s ${\displaystyle R/\ker \varphi }$.^[15]

Nechť R je okruh. Nechť S je podokruh okruhu R, a nechť I je ideál okruhu R. Pak:

1. Součet S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } je podokruh okruhu R,
2. Průnik S ∩ I je ideál podokruhu S, a
3. Podílové okruhy (S + I) / I a S / (S ∩ I) jsou izomorfní.

Nechť R je okruh, a I ideál okruhu R. Pak

1. Pokud ${\displaystyle A}$ je podokruh okruhu ${\displaystyle R}$ takový, že ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$, pak ${\displaystyle A/I}$ je podokruh okruhu ${\displaystyle R/I}$.
2. Každý podokruh okruhu ${\displaystyle R/I}$ má tvar ${\displaystyle A/I}$ pro nějaký podokruh ${\displaystyle A}$ okruhu ${\displaystyle R}$ takový, že ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$.
3. Pokud ${\displaystyle J}$ je ideál okruhu ${\displaystyle R}$ takový, že ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$, pak ${\displaystyle J/I}$ je ideál okruhu ${\displaystyle R/I}$.
4. Každý ideál okruhu ${\displaystyle R/I}$ má tvar ${\displaystyle J/I}$ pro nějaký ideál ${\displaystyle J}$ okruhu ${\displaystyle R}$ takový, že ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$.
5. Pokud ${\displaystyle J}$ je ideál okruhu ${\displaystyle R}$ takový, že ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$, pak podílový okruh ${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$ je izomorfní s ${\displaystyle R/J}$.

Nechť ${\displaystyle I}$ je ideál okruhu ${\displaystyle R}$. Korespondence ${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$ je inkluzi zachovávající bijekce mezi množinou podokruhů ${\displaystyle A}$ okruhu ${\displaystyle R}$, které obsahují ${\displaystyle I}$, a množinou podokruhů okruhu ${\displaystyle R/I}$. Navíc ${\displaystyle A}$ (podokruh obsahující ${\displaystyle I}$) je ideálem okruhu ${\displaystyle R}$ právě tehdy, když ${\displaystyle A/I}$ je ideálem okruhu ${\displaystyle R/I}$.^[16]

Tvrzení vět o izomorfismu pro moduly jsou zvláště jednoduchá, protože z libovolného podmodulu lze vytvořit podílový modul. Věty o izomorfismu vektorových prostorů (modulů nad komutativním tělesem) a Abelovy grupy (moduly nad ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) jsou jeho speciálními případy. Pro konečněrozměrný vektorové prostory všechny tyto věty vycházejí z věty o dimenzích jádra a obrazu.

V následujícím textu bude „modul“ znamenat „R-modul“ pro nějaký pevný okruh R.

Nechť M a N jsou moduly, a nechť φ : M → N je modulový homomorfismus. Pak:

1. Jádro homomorfismu φ je podmodul modulu M,
2. Obraz homomorfismu φ je podmodul modulu N, a
3. Obraz homomorfismu φ je izomorfní s podílovým modulem M / ker(φ).

Speciálně pokud φ je surjektivní pak N je izomorfní s M / ker(φ).

Nechť M je modul, a nechť S a T jsou podmoduly modulu M. Pak:

1. Součet S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} je podmodul modulu M,
2. Průnik S ∩ T je podmodul modulu M, a
3. Podílové moduly (S + T) / T a S / (S ∩ T) jsou izomorfní.

Nechť M je modul, T podmodul modulu M.

1. Pokud ${\displaystyle S}$ je podmodul modulu ${\displaystyle M}$ takový, že ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$, pak ${\displaystyle S/T}$ je podmodul modulu ${\displaystyle M/T}$.
2. Každý podmodul modulu ${\displaystyle M/T}$ má tvar ${\displaystyle S/T}$ pro nějaký podmodul ${\displaystyle S}$ modulu ${\displaystyle M}$ takový, že ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$.
3. Pokud ${\displaystyle S}$ je podmodul modulu ${\displaystyle M}$ takový, že ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$, pak podílový modul ${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$ je izomorfní s ${\displaystyle M/S}$.

Nechť ${\displaystyle M}$ je modul, ${\displaystyle N}$ podmodul modulu ${\displaystyle M}$. Existuje bijekce mezi podmoduly modulu ${\displaystyle M}$, který obsahuje ${\displaystyle N}$ a podmoduly modulu ${\displaystyle M/N}$. Korespondence je dána vztahem ${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$ pro všechny ${\displaystyle A\supseteq N}$. Tato korespondence komutuje s procesy nabývání součtů a průniků (tj. je svazovým izomorfismem mezi svazem podmodulů modulu ${\displaystyle M/N}$ a svazem podmodulů modulu ${\displaystyle M}$, který obsahuje ${\displaystyle N}$).^[17]

Pro zobecnění této věty na univerzální algebru je nutné nahradit normální podgrupy relací shodnosti.

Kongruence na algebře ${\displaystyle A}$ je relace ekvivalence ${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$, která tvoří podalgebru algebry ${\displaystyle A\times A}$ považovanou za algebru s operacemi po složkách. Je možné vytvořit množinu tříd ekvivalence ${\displaystyle A/\Phi }$ do algebry stejného typu tím, že definujeme operaci pro reprezentanty tříd; tato operace bude korektně definovaná, protože ${\displaystyle \Phi }$ je podalgebrou algebry ${\displaystyle A\times A}$. Výslednou strukturu nazýváme faktoralgebra nebo podílová algebra.

Nechť ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ je algebrový homomorfismu. Pak obraz homomorfismu ${\displaystyle f}$ je podalgebrou algebry ${\displaystyle B}$, vztah daný ${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$ (tj. jádrem homomorfismu ${\displaystyle f}$) je kongruence na ${\displaystyle A}$, a algebry ${\displaystyle A/\Phi }$ a ${\displaystyle \operatorname {im} f}$ jsou izomorfní. (Všimněte si, že v případě grup ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ právě tehdy, když ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$, takže se v tomto případě vracíme k pojmu jádra používanému v teorii grup.)

Je dána algebra ${\displaystyle A}$, podalgebra ${\displaystyle B}$ algebry ${\displaystyle A}$, a kongruence ${\displaystyle \Phi }$ na ${\displaystyle A}$, nechť ${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$ je stopa relace ${\displaystyle \Phi }$ v ${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$ kolekce tříd ekvivalence, které protínají ${\displaystyle B}$. Pak

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$ je kongruence na ${\displaystyle B}$,
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$ je podalgebrou algebry ${\displaystyle A/\Phi }$, a
3. algebra ${\displaystyle [B]^{\Phi }}$ je izomorfní s algebrou ${\displaystyle B/\Phi _{B}}$.

Nechť ${\displaystyle A}$ je algebra a ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ dvě relace shodnosti na ${\displaystyle A}$ takový, že ${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$. Pak ${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$ je kongruence na ${\displaystyle A/\Psi }$, a ${\displaystyle A/\Phi }$ je izomorfní s ${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

Nechť ${\displaystyle A}$ je algebra a označíme ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ množinu všech kongruencí na ${\displaystyle A}$. Množina ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ je úplný svaz uspořádaný inkluzí.^[18] Pokud ${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$ je kongruence, a ${\displaystyle \left\langle \Phi ,A\times A\right\rangle \subseteq \operatorname {Con} A}$ budeme značit množinu všech kongruencí, které obsahují ${\displaystyle \Phi }$ (tj. ${\displaystyle \left\langle \Phi ,A\times A\right\rangle }$ je hlavní filtr v ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$, který je navíc podsvazem), pak zobrazení ${\displaystyle \alpha :\left\langle \Phi ,A\times A\right\rangle \to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$ je svazový izomorfismus.^[19][20]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Isomorphism theorems na anglické Wikipedii.

• Noether, Emmy, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
• McLarty, Colin, „Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors“. The architecture of Modern Mathematics: Essays v history and philosophy (editoři Jeremy Gray a José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
• JACOBSON, Nathan, 2009. Basic algebra. 2. vyd. [s.l.]: Dover. ISBN 9780486471891. 
• Cohn, Paul M., Univeral algebra, Chapter II.3 p. 57
• MILNE, James S., 2013. Group Theory. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online. 
• VAN DER WAERDEN, B. I., 1994. Algebra. 9. vyd. [s.l.]: Springer-Verlag. 
• DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 2004. Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 
• BURRIS, Stanley; SANKAPPANAVAR, H. P., 2012. A Course in Universal Algebra. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online. ISBN 978-0-9880552-0-9. 
• Scott, W. R., 1964. Group Theory. [s.l.]: Prentice Hall. 
• Durbin, John R., 2009. Modern Algebra: An Introduction. 6. vyd. [s.l.]: Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5. 
• Knapp, Anthony W., 2016. Basic Algebra. Digital 2. vyd. [s.l.]: [s.n.]. 
• Grillet, Pierre Antoine, 2007. Abstract Algebra. 2. vyd. [s.l.]: Springer. 
• Rotman, Joseph J., 2003. Advanced Modern Algebra. 2. vyd. [s.l.]: Prentice Hall. ISBN 0130878685. 
• Hungerford, Thomas W., 1980. Algebra (Graduate Texts in Mathematics, 73). [s.l.]: Springer. ISBN 0387905189.