Věta o homomorfismu, někdy také nazývaná první věta o izomorfismu, je v teorii grup a v abstraktní algebře věta, která ukazuje souvislost struktury dvou objektů, mezi kterými existuje homomorfismus, a jádrem a obrazem homomorfismu.

Věta o homomorfismu se používá pro matematický důkaz vět o izomorfismu.

Jsou dány dvě grupy G a H a grupový homomorfismus f : G → H. Nechť N je normální podgrupa v G a φ přirozený surjektivní homomorfismus G → G / N (kde G / N je faktorová grupa grupy G podle N). Pokud N je podmnožina jádra ker(f), pak existuje jediný homomorfismus h : G / N → H takový, že f = h ∘ φ.^[1]

Jinými slovy přirozená projekce φ je univerzální mezi homomorfismy na G, které zobrazují N na neutrální prvek.

Situace je popsaná následujícím komutativním diagramem:

h je injektivní právě tehdy, když N = ker(f). Pokud tedy položíme N = ker(f), okamžitě dostáváme první větu o izomorfismu.

Větu o homomorfismu grup lze stručně formulovat takto: „Každý homomorfní obraz grupy je izomorfní s faktorovou grupou“.

Důkaz vyplývá ze dvou základních faktů o homomorfismech, jmenovitě o zachování grupové operace, a zobrazení neutrálního prvku na neutrální prvek. Potřebujeme ukázat, že pokud ${\displaystyle \phi :G\to H}$ je homomorfismus grup, pak:

1. ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ je podgrupa grupy ${\displaystyle H}$.
2. ${\displaystyle G/\ker(\phi )}$ je izomorfní s ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$.

Operace, kterou ${\displaystyle \phi }$ zachovává, je grupová operace. Pokud ${\displaystyle a,b\in {\text{im}}(\phi )}$, pak existují prvky ${\displaystyle a',b'\in G}$ takové, že ${\displaystyle \phi (a')=a}$ a ${\displaystyle \phi (b')=b}$. Pro tyto ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$, máme ${\displaystyle ab=\phi (a')\phi (b')=\phi (a'b')\in {\text{im}}(\phi )}$ (protože ${\displaystyle \phi }$ zachovává grupové operace), a tedy, uzávěrová vlastnost je splněna v ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$. Neutrální prvek ${\displaystyle e\in H}$ je také v ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$, protože ${\displaystyle \phi }$ převádí neutrální prvek grupy ${\displaystyle G}$ to to. Protože ke každému prvku ${\displaystyle a'}$ v ${\displaystyle G}$ má inverzní ${\displaystyle (a')^{-1}}$ takový, že ${\displaystyle \phi ((a')^{-1})=(\phi (a'))^{-1}}$ (protože ${\displaystyle \phi }$ zachovává inverzní vlastnost také), máme inverzní pro každý prvek ${\displaystyle \phi (a')=a}$ v ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$, proto, ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ je podgrupa grupy ${\displaystyle H}$.

Zkonstruujeme zobrazení ${\displaystyle \psi :G/\ker(\phi )\to {\text{im}}(\phi )}$ by ${\displaystyle \psi (a\ker(\phi ))=\phi (a)}$. Toto zobrazení je definované korektně, protože pokud ${\displaystyle a\ker(\phi )=b\ker(\phi )}$, pak ${\displaystyle b^{-1}a\in \ker(\phi )}$ a tedy ${\displaystyle \phi (b^{-1}a)=e\Rightarrow \phi (b^{-1})\phi (a)=e}$ což dává ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)}$. Toto zobrazení je izomorfismus. Z definice je vidět, že ${\displaystyle \psi }$ je surjektivní na ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$. Pro důkaz injektivity je třeba si uvědomit, že pokud ${\displaystyle \psi (a\ker(\phi ))=\psi (b\ker(\phi ))}$, pak ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)}$, což implikuje ${\displaystyle b^{-1}a\in \ker(\phi ),}$ takže ${\displaystyle a\ker(\phi )=b\ker(\phi )}$. Nakonec

${\displaystyle \psi ((a\ker(\phi ))(b\ker(\phi )))=\psi (ab\ker(\phi ))=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\psi (a\ker(\phi ))\psi (b\ker(\phi )),}$

tedy ${\displaystyle \psi }$ zachovává grupové operace. Tedy ${\displaystyle \psi }$ je izomorfismus mezi ${\displaystyle G/\ker(\phi )}$ a ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$, což uzavírá důkaz.

Grupově-teoretickou verzi věty o homomorfismu lze použít pro důkaz, že určité dvě grupy jsou izomorfní. Dva příklady jsou uvedené níže.

Pro každý ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, uvažujme grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ a grupový homomorfismus ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{n}}$ definovaný vztahem ${\displaystyle m\mapsto m{\text{ mod }}n}$ (viz Modulární aritmetika). Dále uvažujme jádro homomorfismu ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle {\text{ker}}(f)=n\mathbb {Z} }$, které je normální podgrupou v ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Existuje přirozený surjektivní homomorfismus ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ definovaný vztahem ${\displaystyle m\mapsto m+n\mathbb {Z} }$. Věta tvrdí, že existuje izomorfismus ${\displaystyle h}$ mezi ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ nebo jinými slovy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. Situace je znázorněna následujícím komutativním diagramem:

Nechť ${\displaystyle G}$ je grupa s podgrupou ${\displaystyle H}$. Nechť ${\displaystyle C_{G}(H)}$, ${\displaystyle N_{G}(H)}$ a ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$ je po řadě centralizátor, normalizátor a grupa automorfismů grupy ${\displaystyle H}$ v ${\displaystyle G}$. Potom věta N/C říká, že ${\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ je izomorfní s podgrupou ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$.

Jsme schopni najít grupový homomorfismus ${\displaystyle f:N_{G}(H)\rightarrow {\text{Aut}}(H)}$ definovaný vztahem ${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$, pro všechna ${\displaystyle h\in H}$. Jádro homomorfismu ${\displaystyle f}$ je zřejmě ${\displaystyle C_{G}(H)}$. Máme tedy přirozený surjektivní homomorfismus ${\displaystyle \varphi :N_{G}(H)\rightarrow N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ definovaný vztahem ${\displaystyle g\mapsto gC(H)}$. Věta o homomorfismu pak tvrdí, že existuje izomorfismus mezi ${\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ a ${\displaystyle \varphi (N_{G}(H))}$, který je podgrupou grupy ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$.

Podobné věty platí pro monoidy, vektorové prostory, moduly a okruhy.^[2]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fundamental theorem on homomorphisms na anglické Wikipedii.

• BEACHY, John A., 1999. Introductory Lectures on Rings and Modules. [s.l.]: Cambridge University Press. (London Mathematical Society Student Texts). Dostupné online. ISBN 9780521644075. S. 27. 
• GROVE, Larry C., 2012. Algebra. [s.l.]: Courier Corporation. (Dover Books on Mathematics). Dostupné online. ISBN 9780486142135. S. 11. 
• JACOBSON, Nathan, 2012. Basic Algebra II. 2. vyd. [s.l.]: Courier Corporation. (Dover Books on Mathematics). Dostupné online. ISBN 9780486135212. S. 62. 
• ROSE, John S., 1994. A course on Group Theory [reprint of the 1978 original]. [s.l.]: Dover Publications, Inc., New York. Dostupné online. ISBN 0-486-68194-7. S. 44–45. 
• MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett, 1973. Algebra. Bratislava: Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry. (slovensky) 
• Studijní text katedry algebry MFF UK [online]. [cit. 2024-09-19]. Dostupné online. 

• Faktorová kategorie