Filtr (matematika)

Pojem filtr je v matematice, konkrétně v teorii uspořádání používán pro podmnožiny uspořádaných množin, jejichž prvky lze v jistém smyslu považovat za „velké“ podle daného uspořádání.

Definice

Máme-li množinu uspořádanou relací , pak o její podmnožině řekneme, že je filtr vzhledem k , pokud je dolů usměrněná horní množina v .

Podrobněji:

  • aby byla horní, musí s každým svým prvkem obsahovat i všechny větší prvky:
  • aby byla dolů usměrněná, musí s každými dvěma prvky obsahovat nějaký prvek menší než oba:

Příklady

  • Prázdná množina je filtr.
  • Pokud má množina nejmenší prvek, pak je sama sobě filtrem - určitě je sama v sobě horní a díky existenci nejmenšího prvku navíc i dolů usměrněná.

Prázdná množina a celá podkladová množina nejsou příliš zajímavé filtry, a jsou proto z uvažování o filtrech obvykle vylučovány. Je zaváděn pojem vlastní filtr jako každý filtr kromě prázdné množiny a celé množiny a mluví-li se o filtrech, rozumí se tím pouze vlastní filtry.

  • V množině všech reálných čísel uspořádaných běžným způsobem podle velikosti je každý shora neomezený interval (ať již zdola otevřený nebo zdola uzavřený) filtrem.
  • Obecněji: pokud je lineární uspořádání, pak je každá horní množina filtr.

Pro lineární uspořádání se tedy filtry redukují na horní množiny. Zajímavější je situace pro uspořádání, která nejsou lineární, viz následující oddíl Filtry na potenční množině.

Dualita filtru a ideálu

Duálním pojmem k pojmu filtr je v teorii uspořádání ideál. Veškeré úvahy a poznatky o filtrech lze (v duální podobě) aplikovat na ideály a naopak. Dalo by se říci, že článek o ideálech je duální k tomuto článku.

V případě filtrů a ideálů na potenční algebře množiny lze dokonce definovat pro filtr a ideál :

  • duální ideál k filtru je definován jako
  • duální filtr k ideálu je definován jako

Platí, že

  • pokud je ultrafiltr, pak je prvoideál
  • pokud je prvoideál, pak je ultrafiltr

Filtry na potenční množině

Jako potenční algebra je obvykle označována potenční množina všech podmnožin množiny s operacemi sjednocení, průniku a doplňku a s uspořádáním relací „být podmnožinou

Co musí splňovat množinový systém , aby byl vlastním filtrem?

  • S každým svým prvkem musí obsahovat i všechny nadmnožiny tohoto prvku.
  • Pro každé dva své prvky musí obsahovat i jejich průnik.
  • Nesmí to být ani prázdná množina, ani celá množina .

Příklad první - hlavní filtr

Uvažujme pro množinu systém všech jejích nadmnožin v :

Jedná se o filtr (to se dá ověřit jednoduchým použitím definice), který se nazývá hlavní filtr určený množinou .

Pokud je množina navíc jednoprvková, pak pro každé platí buď , a nebo , ale nikdy ne zároveň - jedná se tedy o ultrafiltr, obvykle označovaný jako triviální ultrafiltr.

Příklad druhý - Fréchetův filtr

Fréchetův filtr je filtr všech doplňků konečných množin na množině všech množin přirozených čísel . Doporučuji si vyzkoušet, že se jedná o filtr, ale nikoliv o ultrafiltr, protože neobsahuje ani množinu všech sudých čísel, ani její doplněk - množinu všech lichých čísel.

Pokud se vrátíme k motivaci filtru jako určitého rozdělení na prvky, které jsou považovány za „velké“ (prvky filtru) a na ty ostatní, pak pro Fréchetův filtr toto platí beze zbytku - obsahuje množiny, pro které existuje největší přirozené číslo, které v něm neleží.

Podle tohoto filtru je postavena běžná definice limity posloupnosti:
Je-li posloupnost, pak její limitou je bod , pokud pro každé okolí bodu leží množina ve Fréchetově filtru.

Pojem limity lze zobecnit (výše popsaným způsobem) na pojem F-limity podle filtru F.

Související články

Read other articles:

Lukisan di Val Camonica, Italia, c.10,000 SM, menggambarkan pengunjung dari luar angkasa. Namun mungkin juga yang mereka gambarkan adalah dewa atau tokoh mitologi pada masa tersebut. Dogū (土偶) diduga sebagai antariksawan kuno yang mengunjungi bumi selama periode Jomon. Menurut teori antariksawan kuno, kehidupan ekstraterestrial yang maju (disebut antariksawan kuno atau alien kuno) telah mengunjungi bumi dan kontak antara manusia kuno dengan alien memberikan pengaruh terhadap perkembangan...

 

2004 human spaceflight selection of 11 candidates; the Peacocks This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: NASA Astronaut Group 19 – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2017) (Learn how and when to remove this template message) The PeacocksGroup photo, Randolph J. Bresnik is not presentYear selected2004Number selected11← 2...

 

Use of armored fighting vehicles in war This article is about the military doctrine. For the vehicle, see Lists of armoured fighting vehicles. Armored Brigade redirects here. For the video game, see Armored Brigade (video game). A shooting contest between Leopard 2A6 tanks during the Strong Europe Tank Challenge in 2018 Part of a series onWar History Prehistoric Ancient Post-classical Early modern napoleonic Late modern industrial fourth-gen Military Organization Command and control Defense m...

Korean pickled vegetable dish Jangajjimaneul-jong-jangajji (pickled garlic scapes and cloves)Alternative namesPickled vegetablesTypePicklesCourseBanchanPlace of originKoreaAssociated cuisineKorean cuisine  Media: Jangajji Korean nameHangul장아찌Revised RomanizationjangajjiMcCune–ReischauerchangatchiIPA[tɕaŋ.a.t͈ɕi] This article is part of a series onKorean cuisine한국 요리조선 료리 Staples Bap Bibimbap Bokkeum-bap Gukbap Juk Mieum Guksu Naengmyeon Mandu Anci...

 

Temporary race track in Monte Carlo, Monaco Circuit de Monaco Grand Prix circuitLocationLa Condamine and Monte Carlo, MonacoTime zoneCET (UTC+1)CEST (DST)Coordinates43°44′5″N 7°25′14″E / 43.73472°N 7.42056°E / 43.73472; 7.42056Capacity37,000FIA Grade1 (GP)3E (Formula E)Opened14 April 1929; 95 years ago (1929-04-14)Major eventsCurrent:Formula OneMonaco Grand Prix (1950, 1955–2019, 2021–present)Formula EMonaco ePrix (2015, 2017, 2019, 20...

 

Star in the constellation Taurus Romano's Star Location of Romano's Star (below centre, circled) Observation dataEpoch J2000.0      Equinox J2000.0 Constellation Triangulum Right ascension 01h 35m 09.712s[1] Declination +30° 41′ 56.55″[1] Apparent magnitude (V) 16.5–18.8[2] Characteristics Evolutionary stage WR[2] Spectral type WN8h–WN11h[2] B−V color index −0.1[2&#...

2008 video by Charlie Brown Jr.Ritmo, Ritual e Responsa – Ao VivoVideo by Charlie Brown Jr.Released2008RecordedJune 29, 2007VenueExpresso Brasil, São PauloGenreAlternative rock, rap rock, skate punk, funk rock, reggae rockLength1:12:00LabelEMICharlie Brown Jr. live/video albums chronology Skate Vibration(2005) Ritmo, Ritual e Responsa – Ao Vivo(2008) Música Popular Caiçara(2012) Ritmo, Ritual e Responsa – Ao Vivo (Portuguese for Rhythm, Ritual and Responsibility – Live) is ...

 

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年5月6日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 约翰斯顿环礁Kalama Atoll 美國本土外小島嶼 Johnston Atoll 旗幟颂歌:《星條旗》The Star-Spangled Banner約翰斯頓環礁�...

 

Боуи в образе Измождённого Белого Герцога, Торонто, 1976 год Измождённый Белый Герцог (англ. The Thin White Duke) — вымышленный персонаж Дэвида Боуи, созданный им в 1976 году. Визуально образ был расширенным вариантом Томаса Джерома Ньютона — персонажа, сыгранного Боуи в науч...

Manor house at Holbæk, Denmark Bjergbygaard at Golbæk, Denmark Bjergbygaard is a manor house and estate located at Holbæk, Denmark. History The estate is first mentioned in the Danish Census Book under the name Stighsburg and was then crown land. In the 14th century, Bjergbygaard came in the hands of Peder Karlsen and later his daughter, Christine, who was married to Mogens Johansen. He pledged the estate in 1371 and after that the ownership seems to have been divided between multiple owne...

 

City in Illinois, United StatesBelleville, IllinoisCityMain Street FlagBellevilleShow map of IllinoisBellevilleShow map of the United StatesCoordinates: 38°31′18″N 89°59′43″W / 38.52167°N 89.99528°W / 38.52167; -89.99528Country United StatesState IllinoisCounty St. ClairFounded1814Government • MayorPatty GregoryArea[1] • Total23.49 sq mi (60.84 km2) • Land23.23 sq mi (60.17 ...

 

17th-century Indian philosopher Satyanatha TirthaBrindavana (tomb) of Satyanatha Tirtha at VeeracholapuramPersonalBornNarasimhacharya1648Miraj (present-day Sangli district, Maharashtra)Died1674Veeracholapuram (present-day Viluppuram district, Tamil Nadu)Resting placeVeeracholapuramReligionHinduismParentsKrishnacharya (father)Rukmini Bai (mother)OrganizationOrderVedanta (Uttaradi Math)PhilosophyDvaita,[note 1] VaishnavismReligious careerGuruSatyanidhi TirthaSuccessorSatyabhinava Tirth...

1994-95 strike by Major League Baseball players 1994–95 Major League Baseball strikeDateAugust 12, 1994 – April 2, 1995 (7 months and 3 weeks)Location United States  CanadaCaused by Expiration of the previous MLB collective bargaining agreement on December 31, 1993 MLB team owners' proposal for a salary cap to be included in the next MLB collective bargaining agreement Goals Owners proposed revenue-sharing plan in addition to a salary cap Resulted inAgreement reached t...

 

Japanese sports newspaper Not to be confused with Daily Sports (Japanese newspaper). You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Japanese. (October 2021) Click [show] for important translation instructions. View a machine-translated version of the Japanese article. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is ...

 

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2022年1月1日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 艾德加·迪恩·米切尔出生1930年9月17日 美国德克萨斯州赫埃福德逝世2016年2月4日(2016歲—02—04)(85歲)...

Questa voce sull'argomento calciatori messicani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. José Guadalupe MartínezNazionalità Messico Altezza190 cm Peso80 kg Calcio RuoloPortiere Termine carriera2018 CarrieraSquadre di club1 2002-2004 Tecos de la UAG31 (-?)2005-2006 Club Tijuana33 (-?)2006-2007 Tecos de la UAG0 (0)2007-2008 Puebla18 (-?)2008-2010 Querétaro46 (-?)2...

 

Aggressive and fast subgenre of punk rock Hardcore punkMinor Threat performing in 1981Other namesHardcorehXcStylistic originsPunk rockproto-punk[1]Cultural originsLate 1970s to early 1980s, Southern California,[2][3][4][5][6][7] Vancouver, Knoxville,[8] San Francisco,[7][1] Washington, D.C. area[7]Derivative formsAlternative rockblack metal[9][10]crustcore[11]death metalemogrungenoi...

 

Part of the LGBT rights seriesLegal status ofsame-sex unions Marriage legal Andorra Argentina Australia Austria Belgium Brazil Canada Chile Colombia Costa Rica Cuba Denmark Ecuador Estonia Finland France Germany Greece Iceland Ireland Liechtenstein[α] Luxembourg Malta Mexico Netherlands[i] New Zealand[ii] Norway Portugal Slovenia South Africa Spain Sweden Switzerland Taiwan Thailand[α] United Kingdom[iii] United States[iv] Uruguay Recognized ...

American artistic gymnast Addison FattaFatta competing on uneven bars at the 2024 U.S. ClassicPersonal informationFull nameAddison Grace FattaCountry represented United StatesBorn (2004-11-23) November 23, 2004 (age 19)Lancaster, Pennsylvania USAHometownWrightsville, Pennsylvania USADisciplineWomen's artistic gymnasticsLevelSenior International EliteYears on national team2021–2024 (USA)ClubPrestige GymnasticsCollege teamOklahoma Sooners (2025–2028)Head coach(es)T...

 

U.S. Men's Clay Court Championships 1998Sport Tennis Data20 aprile – 27 aprile Edizione88a SuperficieTerra rossa CampioniSingolare Jim Courier Doppio Grant Stafford / Kevin Ullyett 1997 1999 L'U.S. Men's Clay Court Championships 1998 è stato un torneo di tennis giocato sulla terra rossa. È stata la 88ª edizione del U.S. Men's Clay Court Championships, che fa parte della categoria International Series nell'ambito dell'ATP Tour 1998. Si è giocato a Orlando in Florida negli Stati Uniti dal...