Linearizace

Linearizace (někdy také lineární aproximace) je nahrazení části křivky (nebo průběhu funkce) přímkou. Jinak řečeno, jedná se o aproximaci lineární funkcí (jinak také polynomem prvního řádu).

V případě funkce více proměnných se jedná nahrazení části obecné plochy rovinou.

V diferenciálním počtu představuje linearizace nahrazení diferenciální rovnice v určitém rozsahu hodnot lineární diferenciální rovnicí.

Důvodem užití linearizace obvykle bývá zjednodušení navazujících výpočtů.

Metoda provedení linearizace závisí na důvodu jejího použití.

• Pokud je cílem zjištění přibližné hodnoty funkce v blízkém okolí známého bodu, provádí se obvykle nahrazení funkce její tečnou ve známém bodu. (K určení rovnice tečny se užívá derivace.)

• Pokud je cílem stanovení přibližné rovnice z experimentálně získaných hodnot, používá se obvykle lineární regrese, která je jednou z aplikací metody nejmenších čtverců.

Úkolem je přibližně určit hodnotu funkce ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ (${\displaystyle e}$ představuje Eulerovo číslo, základ přirozeného logaritmu) pro ${\displaystyle x=0,01}$, přičemž je známá hodnota funkce v bodu ${\displaystyle x_{0}=0}$ (${\displaystyle f(x_{0})=f(0)=e^{0}=1}$) a dále je známá první derivace (${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$), která je v bodě ${\displaystyle x_{0}}$ rovna ${\displaystyle f'(x_{0})=e^{0}=1}$.

Funkci ${\displaystyle f(x)}$ nahradíme v blízkém okolí bodu ${\displaystyle x_{0}}$ tečnou, jejíž směrnice je určena první derivací. Rovnice tečny bude následující. (Viz také Taylorův polynom.)

${\displaystyle y(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}$

${\displaystyle y(x)=1+1\cdot (x-0)=1+x}$

Odtud již není problém vypočítat místo hodnoty ${\displaystyle f(x)}$ pouze přibližnou hodnotu z rovnice tečny ${\displaystyle y(x)}$.

${\displaystyle f(0,01)\approx y(0,01)=1+0,01=1,01}$

Pokud vypočtenou hodnotu 1,01 porovnáme s přesněji vypočtenou hodnotou ${\displaystyle e^{0,01}\doteq 1,010050167}$, vidíme, že chyba provedeného přibližného odhadu je velmi nízká. (Viz také absolutní chyba a relativní chyba.)

• Lineární funkce
• Lineární regrese

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Linearizace na Wikimedia Commons