Generující matice

Generující matice je v teorii kódování bází lineárního kódu, generující všechna možná kódová slova. Označíme-li matici G a lineární kód C, pak

w = cG

kde w je určité kódové slovo z C, c je řádkový vektor a mezi w a c existuje bijekce. Generující matice kódu (${\displaystyle n}$, ${\displaystyle M=q^{k}}$, ${\displaystyle d}$)_{${\displaystyle q}$} má velikost k × n. V uvedeném zápise je ${\displaystyle n}$ délka kódového slova, ${\displaystyle k}$ je počet informačních znaků, ${\displaystyle d}$ je Hammingova vzdálenost kódu a ${\displaystyle q}$ je počet možných symbolů abecedy (tedy např. q = 2 pro binární kód). O takovém kódu lze rovněž říci, že má počet redundantních znaků ${\displaystyle r=n-k}$.

Standardní tvar generující matice je

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$

kde ${\displaystyle I_{k}}$ je jednotková matice k × k a P je libovolná matice k × r.

Pomocí generující matice lze pro daný kód sestrojit kontrolní matici (a naopak).

Kódy C₁ a C₂ jsou ekvivalentní (značeno C₁ ~ C₂), pakliže může jeden kód vzniknout z toho druhého pomocí následujících transformací:

1. permutací složek
2. násobením složek konstantou

Ekvivalentní kódy mají stejnou Hammingovu vzdálenost.

Generující matice ekvivalentního kódu může být získána z dané generující matice pomocí následujících transformací:

1. permutací řádků
2. násobením řádků konstantou
3. sčítáním řádků
4. permutací sloupců
5. násobením sloupců konstantou

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Generator matrix na anglické Wikipedii.