Besselova funkce

Besselovy funkce jsou řešení Besselovy rovnice

z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+(z^{2}-\nu ^{2})w(z)=0

pro libovolné reálné číslo $\nu$ , které je označováno jako řád Besselovy funkce. Funkce jsou pojmenovány na počest německého matematika a fyzika Friedricha Wilhelma Bessela, který je poprvé popsal.

Cylindrické funkce

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkce

Není-li $\nu$ celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

w(z)=c_{1}J_{\nu }(z)+c_{2}J_{-\nu }(z)

,

kde $J_{\nu }(z)$ a $J_{-\nu }(z)$ jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a $c_{1},c_{2}$ jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu $\nu$ je definována vztahem

J_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{{k!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}

,

kde $\Gamma (x)$ je gama funkce.

Je-li $\nu =n$ celé číslo, pak platí

J_{-n}(z)={(-1)}^{n}J_{n}(z)

,

výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro $n=0,1,2,...$ lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )\mathrm {d} \theta

Platí následující rekurentní vztahy

2\nu J_{\nu }(z)=zJ_{\nu -1}(z)+zJ_{\nu +1}(z)

2J_{\nu }^{\prime }(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)

zJ_{\nu }^{\prime }(z)=\nu J_{\nu }(z)-zJ_{\nu +1}(z)

zJ_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu J_{\nu }(z)+zJ_{\nu -1}(z)

Neumannova funkce

Je-li $\nu =n$ celé číslo, pak $J_{n}(z)$ a $J_{-n}(z)$ nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

w(z)=c_{1}J_{n}(z)+c_{2}N_{n}(z)

,

kde $N_{n}(z)$ je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná $\nu =n$ definovány vztahem

N_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}

Pro $\nu$ různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

N_{\nu }(z)={\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}

Je-li $\nu =n$ celé číslo, pak platí

N_{-n}(z)={(-1)}^{n}N_{n}(z)

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

J_{\nu }(z)N_{\nu +1}(z)-J_{\nu +1}(z)N_{\nu }(z)=-{\frac {2}{\pi z}}

Platí následující rekurentní vztahy

2\nu N_{\nu }(z)=zN_{\nu -1}(z)+zN_{\nu +1}(z)

2N_{\nu }^{\prime }(z)=N_{\nu -1}(z)-N_{\nu +1}(z)

zN_{\nu }^{\prime }(z)=\nu N_{\nu }(z)-zN_{\nu +1}(z)

zN_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu N_{\nu }(z)+zN_{\nu -1}(z)

Hankelova funkce

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce $H_{\nu }^{(1)}(z)$ a $H_{\nu }^{(2)}(z)$ , které jsou definovány jako

H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+\mathrm {i} N_{\nu }(z)

H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-\mathrm {i} N_{\nu }(z)

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Sférické cylindrické funkce

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+2z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+\left[z^{2}-l(l+1)\right]w(z)=0

pro celá nezáporná $l$ .

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

j_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{l+{\frac {1}{2}}}(z)

a sférickou Neumannovu funkci

n_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}N_{l+{\frac {1}{2}}}(z)={(-1)}^{l+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{-l-{\frac {1}{2}}}(z)

,

kde $J_{n}$ jsou Besselovy funkce a $N_{n}$ jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

j_{l}(z)n_{l+1}(z)-j_{l+1}(z)n_{l}(z)=-z^{-2}

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

h_{l}^{(1)}(z)=j_{l}(z)+\mathrm {i} n_{l}(z)

h_{l}^{(2)}(z)=j_{l}(z)-\mathrm {i} n_{l}(z)

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

j_{l}(z)={(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\sin z}{z}}

n_{l}(z)=-{(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\cos z}{z}}

h_{l}^{(1)}(z)=-\mathrm {i} {(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}}{z}}

Lze ukázat, že platí

j_{l}(-z)={(-1)}^{l}j_{l}(z)

n_{l}(-z)={(-1)}^{l+1}n_{l}(z)

h_{l}^{(1)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(2)}(z)

h_{l}^{(2)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(1)}(z)

Modifikovaná Besselova funkce

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}-(z^{2}+\nu ^{2})w(z)=0

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Není-li $\nu$ celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

w(z)=c_{1}I_{\nu }(z)+c_{2}I_{-\nu }(z)

,

kde $I_{\nu }(z)$ je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

I_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{K!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

I_{\nu }(z)=\mathrm {i} ^{-\nu }J_{\nu }(\mathrm {i} z)

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Pro celá $\nu =n$ platí

I_{-n}(z)=I_{n}(z)

Pro celá $n$ tedy nejsou $I_{n}(z)$ a $I_{-n}(z)$ lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

w(z)=c_{1}I_{n}(z)+c_{2}K_{n}(z)

,

kde $K_{n}(z)$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé $\nu$ je definováno

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}

Pro celá $\nu =n$ pak platí

K_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}

Fresnelův ohyb světla na hraně

Důležitým příkladem použití Besselových funkcí je Fresnelův ohyb světla na hraně.

Ohyb světla na přímé hraně.
V případě osvětlení monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou rovnoběžné s přímou hranou.
V horní části je zobrazen pozorovaný jev, a ve spodní části je rozdělení intenzity světla.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Besselova funkce na Wikimedia Commons

Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

A PHP Error was encountered

A PHP Error was encountered

Besselova funkce

Cylindrické funkce

Besselova funkce

Neumannova funkce

Hankelova funkce

Sférické cylindrické funkce

Modifikovaná Besselova funkce

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Fresnelův ohyb světla na hraně

Související články

Externí odkazy

Literatura