Grafy funkcí arkus tangens a arkus kotangens
Arkus tangens je jedna z cyklometrických funkcí , inverzní funkce k funkci tangens . Obvykle se značí arctg x nebo arctan x , v anglické literatuře se taktéž používá atan x či tan−1 x . Její hodnotou je úhel v obloukové míře z intervalu
(
− − -->
π π -->
2
;
π π -->
2
)
{\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}
, popřípadě ve stupňové míře z intervalu (−90°; 90°), jehož tangens je x . Je to jedna z nejdůležitějších funkcí matematické analýzy .
Definice
Funkce arctg x je inverzní funkce k funkci tg x , jejíž definiční obor byl omezen na interval
(
− − -->
π π -->
2
;
π π -->
2
)
{\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}
. Díky tomuto omezení je výchozí funkce prostá , takže požadovaná inverzní funkce existuje.
Vlastnosti
Funkce
y
=
arctg
x
{\displaystyle y={\mbox{arctg }}x}
v obloukové míře je bijekcí mezi množinou reálných čísel
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
a intervalem
(
− − -->
π π -->
2
;
π π -->
2
)
{\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}
, což mimo jiné dokazuje, že každý interval má stejnou mohutnost jako množina reálných čísel.
Dále má tato funkce následující vlastnosti:
Vzorce
arctg
x
=
π π -->
2
− − -->
arccotg
x
=
arcsin
-->
x
x
2
+
1
=
π π -->
2
− − -->
arccos
-->
x
x
2
+
1
{\displaystyle {\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arccotg }}x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}={\tfrac {\pi }{2}}-\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
arctg
(
− − -->
x
)
=
− − -->
arctg
x
{\displaystyle {\mbox{arctg }}(-x)=-{\mbox{arctg }}x}
arctg
1
x
=
{
π π -->
2
− − -->
arctg
x
=
arccotg
x
pokud
x
>
0
− − -->
π π -->
2
− − -->
arctg
x
=
− − -->
π π -->
+
arccotg
x
pokud
x
<
0
{\displaystyle {\mbox{arctg }}{1 \over x}={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x={\mbox{arccotg }}x&{\text{pokud }}x>0\\-{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x=-\pi +{\mbox{arccotg }}x&{\text{pokud }}x<0\end{cases}}}
1
2
arctg
x
=
arctg
x
1
+
1
+
x
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,{\mbox{arctg }}x={\mbox{arctg}}\,{x \over 1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}
2
arctg
x
≡ ≡ -->
arctg
2
x
1
− − -->
x
2
(
mod
π π -->
)
,
x
≠ ≠ -->
± ± -->
1
{\displaystyle 2\,{\mbox{arctg }}x\equiv {\mbox{arctg}}\,{2x \over 1-x^{2}}{\pmod {\pi }},\quad x\neq \pm 1}
[ p 1]
arctg
x
+
arctg
y
≡ ≡ -->
arctg
x
+
y
1
− − -->
x
y
(
mod
π π -->
)
,
x
y
≠ ≠ -->
1
{\displaystyle {\mbox{arctg }}x+{\mbox{arctg }}y\equiv {\mbox{arctg}}\,{x+y \over 1-xy}{\pmod {\pi }},\quad xy\neq 1}
Poznámky
↑ Dosazením x = y do vzorce pro arctg x + arctg y
Externí odkazy