Přímka vedená z počátku protíná hyperbolu
x
2
− − -->
y
2
=
1
{\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}
(
cosh
a
,
sinh
a
)
{\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}
a
{\displaystyle \scriptstyle a}
x
{\displaystyle \scriptstyle x}
x
{\displaystyle \scriptstyle x}
Jako hyperbolické funkce se v matematice označuje skupina několika funkcí analogicky podobných k funkcím goniometrickým . Základními funkcemi jsou hyperbolický sinus (sinh) a kosinus (cosh), ze kterých je odvozen hyperbolický tangens (tanh), kotangens (coth), sekans (sech) a kosekans (csch). Inverzní funkce k funkcím hyperbolickým se označují jako hyperbolometrické funkce .
Stejně jako sinus a kosinus definují body jednotkové kružnice , hyperbolický sinus a kosinus definují body pravé větve rovnoosé hyperboly . Parametrem těchto funkcí je hyperbolický úhel .
Hyperbolické funkce se často objevují v řešení některých diferenciálních rovnic , nebo např. v rovnici křivky řetězovky .
sinh , cosh a tanh csch , sech a coth Hyperbolické funkce jsou definovány následovně:
sinh
-->
x
=
e
x
− − -->
e
− − -->
x
2
=
e
2
x
− − -->
1
2
e
x
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}
cosh
-->
x
=
e
x
+
e
− − -->
x
2
=
e
2
x
+
1
2
e
x
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}}
tanh
-->
x
=
sinh
-->
x
cosh
-->
x
=
e
x
− − -->
e
− − -->
x
e
x
+
e
− − -->
x
=
e
2
x
− − -->
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
coth
-->
x
=
cosh
-->
x
sinh
-->
x
=
e
x
+
e
− − -->
x
e
x
− − -->
e
− − -->
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
− − -->
1
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
sech
x
=
(
cosh
-->
x
)
− − -->
1
=
2
e
x
+
e
− − -->
x
=
2
e
x
e
2
x
+
1
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}
csch
x
=
(
sinh
-->
x
)
− − -->
1
=
2
e
x
− − -->
e
− − -->
x
=
2
e
x
e
2
x
− − -->
1
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}
kde e je Eulerovo číslo .
Hyperbolické funkce mohou být také definovány pomocí imaginárního úhlu:
sinh
-->
x
=
− − -->
i
sin
-->
i
x
{\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}
cosh
-->
x
=
cos
-->
i
x
{\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}
tanh
-->
x
=
− − -->
i
tan
-->
i
x
{\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}
coth
-->
x
=
i
cot
-->
i
x
{\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}
sech
x
=
sec
-->
i
x
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}
csch
x
=
i
csc
i
x
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}
kde i je imaginární číslo definované jako i 2 = −1.
Tyto komplexní tvary jsou odvozeny z Eulerova vzorce .
Sudost
cosh
-->
(
− − -->
x
)
=
cosh
-->
x
{\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}
sech
-->
(
− − -->
x
)
=
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}
Lichost
sinh
-->
(
− − -->
x
)
=
− − -->
sinh
-->
x
{\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}
tanh
-->
(
− − -->
x
)
=
− − -->
tanh
-->
x
{\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}
coth
-->
(
− − -->
x
)
=
− − -->
coth
-->
x
{\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}
csch
-->
(
− − -->
x
)
=
− − -->
csch
x
{\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}
Hyperbolický sinus a kosinus splňují podmínku:
cosh
2
-->
x
− − -->
sinh
2
-->
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}
a podobně:
tanh
2
-->
x
=
1
− − -->
sech
2
-->
x
{\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x}
coth
2
-->
x
=
1
+
csch
2
-->
x
{\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}
Derivace
d
d
x
sinh
-->
x
=
cosh
-->
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}
d
d
x
cosh
-->
x
=
sinh
-->
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}
d
d
x
tanh
-->
x
=
1
− − -->
tanh
2
-->
x
=
sech
2
x
=
1
/
cosh
2
-->
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
d
d
x
coth
-->
x
=
1
− − -->
coth
2
-->
x
=
− − -->
csch
2
x
=
− − -->
1
/
sinh
2
-->
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
d
d
x
csch
x
=
− − -->
coth
-->
x
csch
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,}
d
d
x
sech
x
=
− − -->
tanh
-->
x
sech
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,}
d
d
x
arsinh
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
− − -->
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
artanh
x
=
1
1
− − -->
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d
d
x
arcsch
x
=
− − -->
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d
d
x
arsech
x
=
− − -->
1
x
1
− − -->
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
− − -->
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
Pro kompletní seznam integrálů přejděte na Seznam integrálů hyperbolických funkcí .
∫ ∫ -->
sinh
-->
a
x
d
x
=
a
− − -->
1
cosh
-->
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C}
∫ ∫ -->
cosh
-->
a
x
d
x
=
a
− − -->
1
sinh
-->
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C}
∫ ∫ -->
tanh
-->
a
x
d
x
=
a
− − -->
1
ln
-->
(
cosh
-->
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C}
∫ ∫ -->
coth
-->
a
x
d
x
=
a
− − -->
1
ln
-->
(
sinh
-->
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C}
∫ ∫ -->
d
u
a
2
+
u
2
=
sinh
− − -->
1
-->
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ ∫ -->
d
u
u
2
− − -->
a
2
=
cosh
− − -->
1
-->
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ ∫ -->
d
u
a
2
− − -->
u
2
=
a
− − -->
1
tanh
− − -->
1
-->
(
u
a
)
+
C
;
u
2
<
a
2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}
∫ ∫ -->
d
u
a
2
− − -->
u
2
=
a
− − -->
1
coth
− − -->
1
-->
(
u
a
)
+
C
;
u
2
>
a
2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
∫ ∫ -->
d
u
u
a
2
− − -->
u
2
=
− − -->
a
− − -->
1
sech
− − -->
1
-->
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ ∫ -->
d
u
u
a
2
+
u
2
=
− − -->
a
− − -->
1
csch
− − -->
1
-->
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}
kde C je integrační konstanta .
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hyperbolic function
