En matemàtiques, polinomis de Jacobi (ocasionalment anomenats polinomis hipergeomètrics ) ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ són una classe de polinomis ortogonals clàssics. Són ortogonals respecte al pes ${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$ a l'interval ${\displaystyle [-1,1]}$. Els polinomis de Gegenbauer, i per tant també els polinomis de Legendre, Zernike i Chebyshev, són casos especials dels polinomis de Jacobi.^[1]

Els polinomis de Jacobi van ser introduïts per Carl Gustav Jacob Jacobi.^[2]

Els polinomis de Jacobi es defineixen mitjançant la funció hipergeomètrica de la següent manera: ^[3]

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),}$

on ${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$ és el símbol de Pochhammer (per al factorial de caiguda). En aquest cas, la sèrie de la funció hipergeomètrica és finita, per tant s'obté la següent expressió equivalent:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}$

Una definició equivalent ve donada per la fórmula de Rodrigues:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.}$

Si ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$, llavors es redueix als polinomis de Legendre :

${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.}$

De veritat ${\displaystyle x}$ el polinomi de Jacobi es pot escriure alternativament com

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}}$

i per a nombre sencer ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}}$

on ${\displaystyle \Gamma (z)}$ és la funció gamma.

En el cas especial que les quatre quantitats ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n+\alpha }$, ${\displaystyle n+\beta }$, ${\displaystyle n+\alpha +\beta }$ són nombres enters no negatius, el polinomi de Jacobi es pot escriure com

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$

(1)

La suma s'estén sobre tots els valors enters de ${\displaystyle s}$ per als quals els arguments dels factorials no són negatius.

L'expressió (1) permet l'expressió de la matriu d de Wigner ${\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )}$ (per a ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$ ) en termes de polinomis de Jacobi: ^[4]

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}$

on ${\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}$.