Lema d'Itô

En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula Itô-Doeblin, especialment en la literatura francesa) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic. Serveix com a contrapartida del càlcul estocàstic de la regla de la cadena. Es pot derivar heurísticament formant l'expansió de la sèrie de Taylor de la funció fins a les seves segones derivades i conservant termes fins al primer ordre en l'increment de temps i el segon ordre en l'increment del procés de Wiener. El lema s'utilitza àmpliament en finances matemàtiques, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors d'opcions.^[1]

Motivació

Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica ^[2] $dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},$ on $B t$ és un procés de Wiener i les funcions $\mu _{t},\sigma _{t}$ són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució $X_{t}$ directament en termes de $B_{t}.$ Tanmateix, formalment podem escriure una solució integral ^[3]

$X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.$ Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de $X_{t}$ (que no té moments superiors). En primer lloc, observeu que cada $\mathrm {d} B_{t}$ individualment té una mitjana 0, de manera que el valor d'expectativa de $X_{t}$ és simplement la integral de la funció de deriva: $\mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.$ De la mateixa manera, perquè el $dB$ els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de $X_{t}$ és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal en la marxa aleatòria:

$\mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.$ Tanmateix, de vegades ens trobem davant d'una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex $Y_{t},$ en què el procés apareix als dos costats de l'equació diferencial. És a dir, diguem $dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},$ per a algunes funcions $a_{1}$ i $a_{2}.$ En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més senzill anterior. En canvi, esperem escriure el procés $Y_{t}$ en funció d'un procés més senzill $X_{t}$ prenent el formulari anterior. És a dir, volem identificar tres funcions $f(t,x),\mu _{t},$ i $\sigma _{t},$ de tal manera que $Y_{t}=f(t,X_{t})$ i $dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.$ A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus més simple de problema, podem determinar els moments mitjans i superiors del procés.^[4]

Referències

↑ «Ito's Lemma | QuantStart» (en anglès). https://www.quantstart.com.+[Consulta: 24 agost 2023].
↑ «Lesson 4, Ito’s lemma» (en anglès). https://math.nyu.edu.+[Consulta: 23 agost 2023].
↑ Weisstein, Eric W. «Ito's Lemma» (en anglès). [Consulta: 24 agost 2023].
↑ «Itˆo calculus in a nutshell» (en anglès). https://quantum.phys.cmu.edu.+[Consulta: 23 agost 2023].

Read other articles:

Sirwal

Sirwal, juga saroual, [1] [2] seroual atau serouel [3] (bahasa Arab: سِرْوَال (sirwāl); Turki: şalvar, juga dikenal sebagai celana punjabi, dalam beberapa konteks, adalah bentuk celana panjang sebelum era Kristen. [4] Mereka biasanya dipakai di negara-negara Muslim, karena Muslim kita dilarang Isbal. tetapi juga secara luas di pedesaan Yunani dan tempat-tempat lain di Balkan yang dipengaruhi oleh Turki Ottoman sebelum Perang Dunia II. Celana tersebut awalnya bukan pakaian Arab tetap...

Sistem koordinat polar

Artikel ini sudah memiliki referensi, tetapi tidak disertai kutipan yang cukup. Anda dapat membantu mengembangkan artikel ini dengan menambahkan lebih banyak kutipan pada teks artikel. (September 2020) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Polar coordinate system di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda mengu...

روفوس هل جودي في قاعة كارنيجي

هذه مقالة غير مراجعة. ينبغي أن يزال هذا القالب بعد أن يراجعها محرر؛ إذا لزم الأمر فيجب أن توسم المقالة بقوالب الصيانة المناسبة. يمكن أيضاً تقديم طلب لمراجعة المقالة في الصفحة المخصصة لذلك. (فبراير 2021) هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة �...

Magister equitum

Organi costituzionali romani Assemblee romane Senato (Senatus) princeps senatus senatus consultum Comizi curiati (comitia curiata) Comizi centuriati (comitia centuriata) Comizi tributi (comitia populi tributa) Comizi calati (comitia calata) Concili della plebe (Concilium plebis) Magistrati ordinari Cursus honorum: censore (censor) console (consul) pretore (praetor) edile (aedilis) questore (quaestor) tribuno della plebe (tribunus plebis) duumviri (duumviri) triumviri (triumviri) seviri (sevi...

Nicolás López (footballer, born 1993)

Uruguayan footballer In this Spanish name, the first or paternal surname is López and the second or maternal family name is Alonso. Nicolás López López warming up for Roma in 2012Personal informationFull name Nicolás Federico López Alonso[1]Date of birth (1993-10-01) 1 October 1993 (age 30)[1]Place of birth Montevideo, UruguayHeight 1.77 m (5 ft 10 in)[1]Position(s) ForwardTeam informationCurrent team LeónNumber 10Youth career2004–2...

ソー (オー＝ド＝セーヌ県)

Sceaux 行政国フランス地域圏 (Région) イル＝ド＝フランス地域圏県 (département) オー＝ド＝セーヌ県郡 (arrondissement) アントニー郡小郡 (canton) 小郡庁所在地INSEEコード 92071郵便番号 92330市長（任期）フィリップ・ローラン（2008年-2014年）自治体間連合 (fr) メトロポール・デュ・グラン・パリ人口動態人口 19,679人（2007年）人口密度 5466人/km2住民の呼称 Scéens地理座標北緯48度4...

Fould family

French Jewish family Marguerite Fould, wife of Edgard Stern, painted in 1889. Noémie de Rothschild, née Halphen, in 1909 Helena Bonham Carter in 2011 The Fould family is a family of French Jewish descent known for success in banking.[1] It was founded by Beer Léon Fould, a wine-dealer's son from Lorraine, who moved to Paris in 1784 to establish a banking business.[2][3] The name comes from the Hessian city of Fulda. Family tree Jacob Fould (1736–1830), wine dealer...

UTC+0

UTCLocalizzazione del fuso UTCDenominazioni Greenwich Mean Time (GMT) Western European Time (WET) CodiceZ Differenza da UTC0 Longitudine equivalenteMeridiano di Greenwich (0°) Superficie emersa≈ 5 100 000 km² Popolazione≈ 223 000 000 Densità≈ 44 ab./km² Paesi o territori18 in inverno13 in estate UTC è il fuso orario di base del Tempo universale coordinato. Utilizzano questo fuso orario tre categorie di Stati: quelli che lo usano tutto l'...

جليد أسود

الجليد الأسود ويسمى أحياناً بالجليد الواضح، هو طبقة رقيقة من الجليد الزجاجي التي تتكون على الأسطح، خاصة الطرقات. الجليد نفسه لا يكون أسوداً، لكنه يكون شفافاً، ما يُتيح رؤية لون الأسطح من خلاله. تكون مستويات الجليد والثلج والصقيع الملحوظة ضعيفة وقليلة، إذ تكون غير مرئية عم...

Campionati europei di atletica leggera 1990

XV campionati europei di atletica leggera1990 European Athletics Championships Competizione Campionati europei di atletica leggera Sport Atletica leggera Edizione 15ª Organizzatore European Athletic Association Date dal 27 agosto 1990al 1º settembre 1990 Luogo Spalato Partecipanti 952 atleti Nazioni 33 Impianto/i Stadio di Poljud Statistiche Miglior nazione Germania Est Gare 43 Veduta dello stadio di Poljud di Spalato Cronologia della competizione Stoccarda 1986 Helsinki...

Dutch Sandwich

Dutch withholding tax avoidance tool Part of a series onTaxation An aspect of fiscal policy Policies Government revenue Property tax equalization Tax revenue Non-tax revenue Tax law Tax bracket Flat tax Tax threshold Exemption Credit Deduction Tax shift Tax cut Tax holiday Tax amnesty Tax advantage Tax incentive Tax reform Tax harmonization Tax competition Tax withholding Double taxation Representation Unions Medical savings account Economics General Theory Price effect Excess burden Tax inci...

Karboplatin

Artikel ini memberikan informasi dasar tentang topik kesehatan. Informasi dalam artikel ini hanya boleh digunakan untuk penjelasan ilmiah; bukan untuk diagnosis diri dan tidak dapat menggantikan diagnosis medis. Wikipedia tidak memberikan konsultasi medis. Jika Anda perlu bantuan atau hendak berobat, berkonsultasilah dengan tenaga kesehatan profesional. Foto contoh obat Karboplatin Karboplatin (bahasa Inggris: Carboplatin), atau nama merk dagangnya Paraplatin,[1] adalah salah satu...

List of awards and nominations received by Desperate Housewives

Awards and nominations received byDesperate Housewives Awards and nominations Award Won Nominated AFI Awards 1 1 ALMA Awards 1 6 ADG Excellence in Production Design Awards 1 2 Casting Society of America 1 4 Costume Designers Guild Awards 0 3 Emmy Awards 7 38 GLAAD Media Awards 1 3 Gold Derby Awards 8 36 Golden Globe Awards 3 13 NAACP Image Awards 2 4 People's Choice Awards 2 12 PRISM Awards 3 15 Satellite Awards 4 12 Screen Actors Guild Awards 4 8 TCA Awards 1 5 Teen Choice Awards 5 18 Write...

Knoxville (Géorgie)

Pour les articles homonymes, voir Knoxville. Cet article est une ébauche concernant la Géorgie. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. KnoxvilleGéographiePays États-UnisÉtat GéorgieComté comté de Crawford (siège)Superficie 0,83 km2 (2010)Surface en eau 0 %Altitude 138 mCoordonnées 32° 43′ 28″ N, 83° 59′ 52″ ODémographiePopulation 65 hab.&...

Sohn Kee-chung

Sohn Kee-chung Medallista olímpico Sohn Kee-chung cruza la meta en la maratón de los Juegos Olímpicos de Berlín 1936Datos personalesNacimiento Sinuiju, Corea29 de agosto de 1912Nacionalidad(es) SurcoreanoFallecimiento Seúl, Corea del Sur15 de noviembre de 2002(90 años)Carrera deportivaDeporte AtletismoEspecialidad MaratónPlusmarca de maratón 2h26:42 Medallero Juegos Olímpicos OroBerlín 1936Maratón &...

نهائي كأس ألمانيا 1994

الحدثكأس ألمانيا 1993–94 فيردر بريمن روت فايس إيسن 3 1 التاريخ14 مايو 1994 الملعبالملعب الأولمبي الحضور76391 →نهائي كأس ألمانيا 1993 نهائي كأس ألمانيا 1995 ← نهائي كأس ألمانيا 1994 هي المباراة النهائية من منافسة كأس ألمانيا 1993–94، أقيمت المباراة في 14 مايو 1994، في ا�...

Diamond of opposites

Plot used in psychodrama groups Diamond of opposites The diamond of opposites is a type of two-dimensional plot used in psychodrama groups. This tool can illuminate the presence of contradictions in processes that cannot be detected by any single questionnaire item using a traditional format such as the Likert scale. The diamond of opposites is a sociometric scaling method that simultaneously measures positive and negative responses to a statement. Psychodrama/Sociometry: The psychological ap...

Nanjil Nadan

Tamil writer Nanjil NadanBornG. Subramaniam (1947-12-31) 31 December 1947 (age 76)Veera Narayanamangalam in Kanyakumari DistrictPen nameNanjil NadanLanguageTamilNationalityIndianCitizenshipIndianNotable awardsSahitya Akademi Award Nanjil Nadan is the pseudonym of G. Subramaniam (born 31 December 1947), a Sahitya academy winning Tamil writer from Tamil Nadu, India. Biography Nanjil Nadan was born in Veera Narayanamangalam, Thazhakudy in Kanyakumari District to Ganapathiya Pillai and Saras...

Trade Descriptions Act 1968

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (February 2015) (Learn how and when to remove this message) This article relies excessively on references to primary sources. Please ...

Nexhmije Pagarusha

Nexhmije PagarushaNexhmije Pagarusha en 2012.BiographieNaissance 7 mai 1933Pagaruša (royaume de Yougoslavie)Décès 7 février 2020 (à 86 ans)PristinaPseudonyme Bilbili i KosovesNationalités kosovareyougoslaveActivités Actrice, artiste lyriquePériode d'activité À partir de 1948Autres informationsTessiture Contralto, sopranoGenres artistiques Opéra, musique traditionnelle, rock, pop, funkmodifier - modifier le code - modifier Wikidata Nexhmije Pagarusha est une chanteuse et actric...

Sayap basah

/profillengkap.com/index.php/article/Downs Township, McLean County, Illinois

2008 LC2

Jambean, Kras, Kediri

Atesta ciliata

Daftar Bupati Bungo

Template talk:U.S. Open golf venues

Penghargaan Film Nasional India ke-35

Kimi no Soba ni Iru yo

Patty Kazmaier Award

Президентский полк

Villa Borghese