Descendia d'artistes, els seus besavi i avi foren escultors i el seu pare Josep Arrau i Estrada, va ser pintor, deixeble de Pere Pau Montaña. La invasió francesa del 1808 obligà als seus pares a abandonar Barcelona i refugiar-se a Reus on l'infant aprengué les primeres lletres i començà a dibuixar. La família va retornar a Barcelona el 1814, i l'any següent, en obrir-se els estudis del Col·legi Tridentí, Josep va estudiar-hi dos cursos de gramàtica llatina. Tot seguit començà a aprendre de pintar sota la direcció del seu pare, el qual molt poc temps pogué ensenyar-n'hi, puix moria el 23 de desembre de 1817.
Continuà els estudis artístics a l'Escola de la Llotja i al cap de poc, també, al taller del pintor Joan Carles Anglès, on, amb Ignasi Palmerola, Antoni Falcó i Jaume Batlle com a condeixebles, dibuixava, pintava i seguia els estudis de geometria, arquitectura, perspectiva, anatomia i proporció. Des del 1819 fins al 1826 seguí constantment els estudis a la Llotja, guanyant els premis trimestrals i anyals i el tercer de pintura. També va rebre lliçons de l'escultor Damià Campeny.
Al Col·legi de Medicina, el curs 1824-1825, va perfeccionar-hi els estudis d'anatomia i, els cursos 1826-1830, hi aprengué química, corrent al seu càrrec, en els exercicis del darrer any, l'especialització de «tenyits i pintats d'indianes, fabricació de colors per a la pintura i restauració d'obres pictòriques».
Havent entrat com a passant en el despatx del seu oncle Jaume Rigalt i Estrada, Notari de Barcelona, determinà matricular-se en la carrera notarial i feu les proves en el col·legi corresponent. El 1829 entrà com a mestre de dibuix al Col·legi de les Escoles Pies. El 1831 estudià botànica sota la direcció de Marià de la Pau Graells. Al llarg dels anys 1823 a 1830 havia sempre continuat l'exercici del dibuix, però havia pintat poc del natural, ja que només havia fet dos retrats de parents seus, alguns altres en miniatura i una composició que obtingué el tercer premi de pintura en el Concurs general que obrí l'Escola de Nobles Arts el 1826.
Carrera
El 1831 viatja a Milà, a casa d'uns amics, on rep les lliçons d'un professor d'anomenada, Giuseppe Molteni. Començà copiant obres del seu nou mestre, però aviat li fou permesa la còpia del natural i la pràctica de la restauració de pintures a la qual Molteni també es dedicava. Per raons familiars, en companyia de Francesc Brocea, emprèn el viatge de tornada el juny de 1832, travessant els Alps, deturant-se a Ginebra, Lió, Bordeus, Tolosa i Perpinyà i arribant a Barcelona al cap d'un mes, instal·lant tot seguit el seu taller al segon pis d'una casa de la plaça de La Verònica on exposà tot el que havia fet a Milà, i va començar la pintura de retrats i de composicions en perspectiva.
L'any següent emprengué el seu segon viatge a Itàlia, i, passant per Marsella i Gènova, es dirigí a Milà on va adquirir tractats de dibuix ornamental i models en guix, compongué un pla de curs elemental en setze lliçons. L'agost de 1837 emprengué un viatge a València per tal d'estudiar les obres dels pintors valencians, i, de tornada, va detenir-se a Tarragona, per conèixer els monuments d'aqueixa ciutat.
En quant a la restauració de pintures, els criteris i mètodes que Arrau implantà són principalment de procedència italiana, sobretot a partir de la seva primera estada a Milà. S'iniciava la influència que tindrà més endavant a Catalunya l'escola de restauració italiana, i que s'ha mantingut fins als nostres dies.[1]