Una constant matemàtica és una quantitat que per definició no canvia mai el seu valor, en oposició a les variables matemàtiques. Mentre que les constants físiques depenen de mesures experimentals, les constants matemàtiques no depenen de cap propietat física. Solen ser nombres reals o nombres complexos.

Aquestes són constant que es troben freqüentment en les matemàtiques avançades.

Iterar en funcions contínues és un dels exemples més simples de models per a sistemes dinàmics.^[1] Les dues constants de Feigenbaum, que duen el nom del físic Mitchell Feigenbaum, apareixen en aquests processos iteratius: són invariants matemàtiques de mapes logístics amb punts màxims quadràtics^[2] i els seus diagrames de bifurcació. En particular, la constant α és el ratio entre l'amplada d'una punxa i l'amplada d'una de les seves dues subpunxes, i al constant δ és el límit del ràtio de cada interval de bifurcació amb el següent entre cada bifurcació en què es duplica el període.

El mapa logístic és un mapa polinòmic, sovint citat com l'exemple arquetípic de com el comportament catòtic pot aparèixer a partir d'equacions dinàmiques no lineals molt simples. El mapa es va popularitzar en un article seminari de 1976 del biologista australià Robert May,^[3] en part com a model demogràfic de temps discret anàleg a l'equació logística creada per Pierre François Verhulst. L'equació de diferències pretén capturar els dos efectes de reproducció i d'inanició.

El valor numèric d'α és d'aproximadament 2.5029, mentre que el valor numèric de δ és aproximadament de 4.6692.

La constant d'Apery és la suma de la sèrie $${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }$$ La constant d'Apéry és un nombre irracional i el seu valor numèric és d'aproximadament 1.2020569.

Malgrat ser un cas particular de la funció zeta de Riemann, la constant d'Apéry apareix naturalment en un seguit de problemes físics, inclosos els termes de segon i tercer ordre de la fracció giromagnètica de l'electró, calculat en electrodinàmica quàntica.^[4]

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}$

Una fórmula explícita pel nombre de Fibonacci n-èssim que inclou la secció àuria φ.

El nombre φ, també anomeneat la secció àuria, apareix freqüentment en geometria, en particular en figures amb simetria pentagonal. En efecte, la longitud de la diagonal d'un pentàgon és φ vegades el seu costat. Els vèrtexs d'un icosaedre regular són els de tres rectangles auris ortogonals. A més, apareix en la successió de Fibonacci, relacionada amb el creixement per recursivitat.^[5] Kepler va demostrar que és el límit del ràtio de nombres de Fibonacci consecutius.^[6] La secció àuria té la convergència més lenta de tot nombre irracional.^[7] És, per aquesta raó, un dels pitjors casos del teorema d'aproximació de Lagrange i és un cas extrem de la desigualtat de Hurwitz per aproximacions diofàntiques. Aquest pot ser el motiu pel qual apareixen sovint angles propers a la secció àuria en el camp de la fil·lotaxi (el creixement de les plantes).^[8] És aproximadament igual a 1.6180339887498948482, o, més precisament 2⋅sin(54°) = ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

La constant d'Euler–Mascheroni és definida com el següent límit.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right)\\[5px]\end{aligned}}}$

La constant d'Euler–Mascheroni apareix en el tercer teorema de Mertens i està relacionada amb la funció gamma, la funció zeta i diverses altres integrals i sèries.

Encara no se sap si ${\displaystyle \gamma }$ és racional o no.

El valor numèric de ${\displaystyle \gamma }$ és d'aproximadament 0.57721.

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\11\\21\\1211\\111221\\312211\\\vdots \end{matrix}}}$

Seqüència "mira i digues" de Conway

La constant de Conway és la taxa de creixement invariant de totes les cadenes derivades similars de la seqüència "look-and-say" ("mira i digues") (excepte per la trivial).^[9]

Ve donada per la única arrel positiva d'un polinomi de grau 71 amb coeficients enters.^[9]

El valor de λ és d'aproximadament 1.30357.

Si un nombre real r s'escriu com a fracció contínua:

${\displaystyle r=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}},}$

on a_k són nombres naturals per tot k, llavors, com el matemàtic rus Aleksandr Khintxin va demostrar l'any 1934, el límit a mesura que n tendeix a infinit de la mitjana geomètrica: (a₁a₂...a_n)^1/n existeix i és una constant, la constant de Khintxin, excepte per un conjunt de mesura 0.^[10]

El valor numèric de K és d'aproximadament 2.6854520010.

Es defineix la constant de Glaisher-Kinkelin com el límit:

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{n}k^{k}}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}$

Apareix en algunes expressions de la derivada de la funció zeta de Riemann. Té un valor numèric d'aproximadament 1.2824271291.

Abreviacions utilitzades:

R: Nombre racional; I: Nombre irracional, pot ser algebraic o transcendent; A: Nombre algebraic; T: Nombre transcendent; Gen: General; TN: Teoria de nombres; TC: Teoria del caos; Com: Combinatòria; Inf: Teoria de la informació; Ana: Anàlisi matemàtica

• Constants. Wolfram MathWorld