El 1985, Moore guanyà el Campionat AMA de Supercross 125cc (West). Tot seguit, va passar a disputar el Campionat del Món, acabant segon rere Donny Schmit al Mundial de 125cc el 1990 i rere Stefan Everts el 1991. El 1992, tornà a quedar segon rere Schmit, aquest cop al Mundial de 250cc. Tornat a la categoria de 125cc, en guanyà finalment el Mundial el 1994. Durant la seva etapa a Europa va guanyar també dos Campionats d'Alemanya de motocròs (1989-1990) i un d'Itàlia (1992).