U matematici, test divergencije n-tog člana^[1] je jednostavan test divergencije beskonačnih redova:

• Ako ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ili ako limes ne postoji, tada red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ divergira.

Mnogi autori ne imenuju ovaj test ili mu samo daju kraći naziv.^[2]

Za razliku od jačih testova konvergencije, test općeg člana ne može sam dokazati da red konvergira. To znači da suprotno od razultata testa nije nužno tačno; umjesto toga može se reći:

• Ako je ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$ tada red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ može, ali i ne mora konvergirati. Drugim riječima, ako je ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$, test je neodlučan.

Harmonijski red je klasičan primjer divergentnog reda čiji članovi teže u nula.^[3] Općenitija klasa harmonijskih redova, tzv. hiperharmonijski red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

pojašnjava razultate testa:

• Ako je p ≤ 0, tada red divergira.
• Ako je 0 < p ≤ 1, tada je test neodlučan, ali je red divergentan po integralnom testu konvergencije.
• ako je 1 < p, tada je test neodlučan, ali je red konvergentan, ponovo po integralnom testu konvergencije.

Dokaz se dokazuje test kontrapozitivnom formom:

• Ako red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergira, tada je ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Ako su s_n parcijalne sume reda, tada pretpostavka da red konvergira znači da je

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s}$

za neki broj s. Tada vrijedi^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=s-s=0.}$

Pretpostavka da red konvergira znači da je prošao Cauchyjev test konvergencije: Za svaki ${\displaystyle \varepsilon >0}$ postoji broj N takav da

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

vrijedi za sve n > N i p ≥ 1. Slučaj p = 1 potvrđuje definiciju iskaza^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Najjednostavnija verzija test općeg člana primjenjuj se na beskonačne redove realnih brojeva.

• Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0-88385-737-5.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 981-256-563-9.
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2050-8.
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e izd.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1-4020-1616-6.