Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Dio serije članaka o
Infinitezimalnom računu
Fundamentalna teorema Leibnizovo integracijsko pravilo Granična vrijednost funkcije Neprekidnost Teorema srednje vrijednosti Rolleova teorema
Diferencijal Definicije Izvod (generalizacije) Derivacija infinitezimalno funkcija potpuna Koncepti Notacija derivacije Drugi izvod Treći izvod Smjena varijabli Implicitna derivacija Povezane stope Taylorova teorema Pravila i identiteti Zbir Proizvod Složena funkcija Potencijal Količnik Inverzna funckija Opći Leibniz Faà di Brunoova formula
Integral Tablični integrali Integralna transformacija Definicije Primitivna funkcija Integral (nepravi) Riemannov integral Lebesgueova integracija Konturna integracija Integral inverznih funkcija Integracija po Dijelovima Diskovima Cilindričnim ljuskama Smjenama (trigonometrijska, Weierstrassova, Eulerova) Eulerovoj formuli Parcijalnim funkcijama Promjenjivom poretku Redukcijskim formulama Diferencijacija pod integralnim znakom
Redovi Geometrijski (aritmetičko-geometrijski) Harmonijski Alternativni Potencijalni Binomni Taylorov Testovi konvergencije Test općeg člana D'Alambertov test Korjeni test Integralni test Test poređenja Poređenje limesa Test za alternativne redove Cauchyjeva kondenzacija Dirichlet Abel
Vektor Gradijent Divergencija Rotor Laplaceov operator Usmjereni izvod Identiteti Teoreme Gradijent Green Kelvin–Stokesova Divergencija generalizirana Stokesova
Više promjenjivih Formalizmi Matrice Tenzori Vanjski izvod Geometrijski infinitezimalni račun Definicije Parcijalni izvod Višestruki integral Linijski integral Površinski integral Zapreminski integral Jacobi Hesse
Specijalizirano Razlomački infinitezimalni račun Malliavin Stohastički infinitezimalni račun Varijacijski infinitezimalni račun
Rječnik infinitezimalnog računa Rječnik infinitezimalnog računa Spisak tema o infinitezimalnom računu
p r u

U matematici, Cauchyjev integralni test konvergencije je metoda koja se koristi za testiranje konvergencije kod beskonačnih redova koji imaju nenegativne članove. Ranu verziju testa konvergencije razvio je indijski matematičar Madhava u 14. vijeku, u pomoć svojih kolega iz škole Kerala. U Evropi je kasnije razrađen od strane Maclaurina i Cauchyja, te je poznat pod nazivom Maclaurin–Cauchyjev test (ili samo Cauchyjev integralni test).

Uzmimo cijeli broj N i nenegativnu monotono opadajuću funkciju f definisanu na neograničenom intervalu [N, ∞). Tada red

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

konvergira ako i samo ako integral

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

ima određeno rješenje. To znači, ako integal divergira, divergira i dati red.

U dokazu se koristi test poređenja, gdje se poredi član f(n) sa integralom od f preko intervala [n − 1, n] i [n, n + 1], respektivno.

Pošto je f monotono opadajuća funkcija, znamo da je

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for }}x\in [n,\infty )}$

i

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for }}x\in [N,n],}$

odakle vrijedi, za svaki n veći od N

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.}$

Pošto prethodna procjena važi i za f(N), dobijamo sumiranjem preko cijelog n, od N do nekog većeg cijelog broja M

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}F(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Kada pustimo da M teži u beskonačnost, dobijamo razultat.

Hermonijski red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

divergira zato što, koristeći prirodni logaritam, njegovu derivaciju, te fundamentalni teorem kalkulusa, dobijamo

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

Suprotno, red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}$

(uporedite sa Riemannovom zeta funkcijom) konvergira za svaki ε > 0, pošto je

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

Prethodni primjeri koji uključuju harmonijske redove, postavljuju pitanje da li potoje monotoni nizovi takvi da f(n) opada do 0 brže od 1/n, ali sporije od 1/n^1+ε, u smislu da

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

za svaki ε > 0, te da li odgovarajući redovi funkcije f(n) još uvijek, u tom slulčaju, divergiraju. Kada se takav niz pronađe, slično pitanje može se postaviti u slačaju da f(n) uzme ulogu 1/n, i tako dalje. Na ovaj način moguće je istražiti granicu između divergencije i konvergencije.

Koristeći integralni test konvergencije, može se pokazati (pogledajte ispod) d, za svaki prirodan broj k, red

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}$

još uvijek divergira (uporedite sa dokazom da suma recipročnih prostih brojeva divergira za k = 1), ali

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}$

konvergira za svaki ε > 0. Ovdje ln_k označava k-tu kompoziciju funkcija prirodnog logaritma definisanog rekurzivno sa

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

Nadalje, N_k označava najmanji prirodni broj takav da je k-ta kompozocija dobro definisana i ln_k N_k ≥ 1, npr.

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

koristeći tetraciju ili Knuthovu notaciju.

Kako bi smo vidjeli divergenciju prvog reda koristeći integralni test, zapazite da ponavljanom primjenom pravila derivacije složene funkcije

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

odakle vrijedi

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

Da bi smo vidjeli konvergenciju drugog reda, zapazite da sa primjenom pravila o derivaciji stepena, pravila o derivaciji složene funkcije i rezultata iznad dobijamo

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

odakle vrijedi

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty .}$

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3