Той е син на имперския канцлер граф Доминик Андреас I фон Кауниц (1654 – 1705) и съпругата му графиня Мария Елеонора Йозефа фон Щернберг, фрайин фон Холицки (1656 – 1706), дъщеря на граф Олдрих Адолф Вратислав фон Щернберг († 1703) и графиня Анна Луция Славата з Члуму а Косумберка (1637 – 1703).
Максимилиан Улрих участва през 1724 г. като императорски пратеник в конклава за избора на папата Бенедикт XIII. През 1744 г. той става рицар на австрийския орден на Златното руно.
Максимилиан Улрих фон Кауниц се жени на 6 август 1699 г. за графиня Мария Ернестина Франциска, графиня фон Ритберг (* 1 август 1686, Ритберг; † 1януари 1758, Брун), дъщеря наследничка на граф Фердинанд Максимилиан от Източна Фризия и Ритберг (1653 – 1687) и графиня Йоханета Елизабет Франциска фон Мандершайд-Бланкенхайм (1663 – 1704). Те имат 11 деца:[1][2]
Мария Йозефа Агнес фон Кауниц (* 18 май 1706; † 7 май 1726)
Мария Антония фон Кауниц (* 15 юни 1708; † 12 януари 1778), омъжена на 14 април 1738 г. за граф Йохан Адам фон Квестенберг († 10 май 1752)
Йохан Доминик Йозеф фон Кауниц (* 23 февруари 1709; † 1751)
Венцел Антон фон Кауниц (* 2 февруари 1711, Виена; † 27 юни 1794, Виена), първи княз на Кауниц, австрийски външен министър и канцлер, женен на 6 май 1736 г. за Мария-Ернестина фон Щархемберг (* 10 октомври 1717, Виена; † 6 септември 1749)
Максимилиан Йозеф фон Кауниц (* 20 февруари 1712; † 18 юли 1731)
Франц Тадаус фон Кауниц (* 10 октомври 1714; † 1722)
Карл Йозеф фон Кауниц (* 26 декември 1715; † 31 март 1737, Рим), домхер в епископства
Емануел Йозеф фон Кауниц (* 9 септември 1717; † 10 май 1727)
Лудвиг Йозеф фон Кауниц (* 4 септември 1720; † 12 март 1745)
Мария Ернестина Франциска фон Кауниц-Ритберг (* 8 април 1723, Виена; † 7 май 1776), омъжена на 2 декември 1742 г. в Брно/Брюн за граф Рудолф Йозеф Йохим Янош Палфи аб Ердьод (* 4 март 1719, Виена; † 1 април 1768, Пресбург)
Йохан Йозеф фон Кауниц (* 21 юни 1726; † 10 март 1743)
Литература
Constantin von Wurzbach: Kaunitz-Rietberg, Maximilian Ulrich Graf. In: Biographisches Lexikon des Kaiserthums Oesterreich. 11. Theil. Kaiserlich-königliche Hof- und Staatsdruckerei, Wien 1864, S. 69 f.
Constantin von Wurzbach: Kaunitz, die Grafen und Fürsten, Genealogie. In: Biographisches Lexikon des Kaiserthums Oesterreich. 11. Theil. Kaiserlich-königliche Hof- und Staatsdruckerei, Wien 1864, S. 60 – 63
Europäische Stammtafeln, Band III, Frank Baron Freytag von Loringhoven, 1976, Isenburg, W. K. Prinz von. 30