Роден е на 22 ноември1913 г. в село Руска Бела, Врачанско. Учи в родното си село, в гимназия във Враца и в педагогическо училище в Берковица. Още в ученическите си години възприема комунистическите идеи.
През 1932 – 36 г. учителства в родния си край. Тогава печата и първите си стихотворения.
През 1937 г. се установява в София, където завършва дипломация в Свободния университет (сега УНСС) и право в Софийския университет (1942). Същевременно работи като журналист във в. „Заря“. Активен сътрудник е на сп. „Росица“ и в. „Детски глас“. Печата също в сп. „Светулка“, „Детска радост“ и др.
След 9 септември 1944 г. е зам.-гл. редактор на в. „Заря“, а по-късно редактор във в. „Работническо дело“. Босев е един от основателите и пръв гл. редактор (1945 – 52) на в. „Септемврийче“. През 1953 – 55 г. е съветник по културните въпроси в българското посолство в Москва. От 1961 до 1965 г. е гл. редактор на в. „Стършел“. Инициатор е за основаването на Дом на литературата и изкуствата за деца и юноши в София и пръв негов директор. Един от учредителите и първи председател на Българската секция на Международния съвет по детската книга към ЮНЕСКО.
Баща е на белетриста Росен Босев и на художника Красимир Босев и е дядо на журналиста Росен Босев. Брат е на Крум Босев (1920 – 2011) – журналист и дипломат, първия българин, стъпил на Северния полюс на 25 ноември 1958 г.
Памет
На Асен Босев е наречена улица в квартал „Дружба“ в София (Карта).